Математикадан олимпиадалық есептер жинағы

Картбаева Бейсенкүл Сапарханқызы Мматематика пәнінің мұғалімі Олимпиада есептер жинағы

1)1·2·3·4·5·6·... ·98·99·100 көбейтіндісі неше нөлмен аяқталады?

Шешуі: нөлдер саны 5 көбейткіштер санына тең әрбір ондықта екіден 2·10=20 одан басқа 25-ке еселі сандарда бір-бірден олар төртеу барлығы 24

Жауабы:24 2) теңдеуді шешіңдер Шешуі: х2/3·х2/9·х 2/27...= 49, геометриялық прогрессияны пайдаланып

, х = 49

Инварианттар.

Инвариантта сандардың жұп тақтылығы, бірнеше санның көбейтіндінің (қосындының) таңбалары санды қандайда бір натурал санға бөлгендегі қалдық және стандартты нварианттар: орын алмастыру, бояу т.б. қарастырылады. Жұптылықты пайдалану - олимпиада есептерін шығаруда жиі қолданылады. Жұптылықтың қолданылудағы маңыздылығы: 1. Бірнеше бүтін санның қосындысының жұптылығының қосылғыштар санының тақтылығының жұптылығымен сәйкес келуі. 2. Бірнеше санның көбейтіндінің (нөлден өзгеше) таңбасы теріс көбейткіштердің жұптылығымен анықталады.

Есеп 1. Шегіртке түзу бойымен бірінші секіргенде қандайда бір жаққа 1 см., екінші секіргенде 2 см., солай секіруін жалғастыра берді. Осылай 2009 рет секіргенде ол бастапқы орнында бола алмайтындығын дәлелдеңдер. Д/у: +-1+-2+-3+-...+-2009 қосындысын табамыз. Берілген 2009 сандардың 1004-і жұп, 1005-і тақ. Жұп қосылғыштар саны жұп болса қосынды жұп, тақ қосылғыштар саны тақ болса қосынды тақ болатындықтан. +-1+-2+-3+-...+-2009 қосындысы тақ сан болады. Сондықтан шегіртке бастапқы орнына орала алмайды.

Есеп 2. 1,2,3,4,5,6 сандары берілген.Олардың әрқайсысына қандайда бір санды қосып, барлық сандарды тең етуге бола ма? Шешуі: 1+2+3+4+5+6=21 қосынды тақ сан. Әрбір санға қандайда бір а санын қосатын болсақ, қосындының нәтижесі тақ сан болатын 21+ 6а қосындысын аламыз. Ал бірдей алты санның қосындысы жұп сан балатындықтан, барлық сандарды тең етуге боламайды.

Есеп 3. 50 теңгені он үш 1 және 5 теңгеліктермен ұсақтауға бола ма? Шешуі: 13 тақ сандардың қосындысы да тақ сан, ал 50 жұп сан сондықтан, 50 теңгені он үш 1 және 5 теңгеліктермен ұсақтауға боламайды.

Есеп 4. Ұсақтау автоматы бір монетаны 5 монетаға айырбасбайды. Темір бір теңгені 55 монетаға айырбастай ала ма? Шешуі: бірінші ұсақтағанда 5 монета, екінші ұсақтағанда 9 монета (бір монетаны 5 монетаға айырбастайтындықтан 5- 1+5=9), үшінші ұсақтағанда 13 монета, төртінші ұсақтағанда 17 монета т.т. 5,9,13,17 сандарын 4-ке бөлгенде 1 қалдық қалады. 55-ті 4-ке бөлсек 3 қалдық қалады, олай болса 50 теңгені он үш 1 және 5 теңгеліктермен ұсақтауға боламайды. қорытынды: есепті шығару барысында алынған монеталар санының 4-ке бөлгендегі қалдығын қарастырдық.

Есеп 5. Тақтада 15 сан жазылған олардың: 8-і нөл және 7-еуі бір. Егер кез-келген екі санды сызып тастап, егер олар бірдей болса, қалған сандарға нөл санын тіркеп, ал егер әр түрлі болса, онда бірді тіркеп жазып, осылай 14 рет қайталағаннан кейін тақтада қандай сан қалады? Шешуі: 15 санның 7-еуі тақ. 14 амалдан кейін қосындының қандай болатынын қарастырамыз.Егер екі нөлді сызып, нөл санын тіркеп жазсақ онда тақтада 7 нөл және 7 бір қалады. Бұл 14 санның қосындысы тақ сан болады. Егер екі бір санын сызып нөл санын тіркеп жазсақ онда тақтада 9 нөл және 5 бір сандары қалады. Бұл 14 санның қосындысы да тақ сан болады.Ал егер нөл мен бірді сызып, бірді тіркеп жазатын болсақ онда тақтада 7 нөл және 7 бір қалады.Қосындысы тақ сан болады.Біз бұдан тақтада бір санға кем және қалған сандардың қосындысы тақ сан.себебі 1 тақ, 0 жұп сандар. Осылай 14 рет қайталаудан кейін тақтада тақ сан қалады,

яғни 1.

Есеп 6. Үстелде үстінде 15 темір теңгелер елтаңба жағымен жоғары қаратылып жатыр. Бір мезгілде кез-келген 14-ін аударуға болады. Осылайша бірнеше аударудың нәтижесінде теңгелердің елтаңба жағын төмен қаратуға бола ма? Шешуі: болмайды. Себебі аударулар санының жұптығы өзгермейді.

Есеп 7. 26 бүтін санның көбейтіндісі 1-ге тең.Осы сандардың қосындысы 0-ге тең болуы мүмкін бе? Шешуі: болмайды. Себебі 26 бүтін санның -1-ге тең көбейткіштер саны жұп, нөл болуы үшін олар 13 болуы керек,"онда қосынды 0 бола алмайды)

Есеп 8. Тақтада 1,2,3,...,125 сандары жазылған. Кез-келген екі санды сызып, олардың орнына сол сандардың қосындысының 11-ге бөлгендегі қалдығын жазуға болады. Осылай 124 рет орындаудан кейін тақтада бір сан қалады. Ол қандай сан? Шешуі: Инвариант- барлық сандардың қосындысының 11 бөлгенде 10 қалдық қалады. Осылай 124 рет орындаудан кейін тақтада бір сан қалады, ол10 саны.

Есеп 9. 2006 натурал санның қосындысы тақ сан. Осы сандардың көбейтіндісі тақ сан бала ма немесе жұп сан бала ма ? Шешуі: қосынды тақ сан балғандықтан тақ қосылғыштар саны тақ болады, онда 2006 санның ішінде ең болмағанда біреуі жұп болады. Олай болса көбейтінді жұп сан болады.

Есеп 10. Сапта 2009 адам тұр. Бір адамнан кейінгі екі адамның орындарын ауыстыру арқылы оларды бойларының ұзындықтары бойынша тұрғызуға бола ма? Шешуі: бұл жерде 2009 саны ешқандай рол ойнамайды. Орын алмастырғанда орындардың жұптығы сақталады, сондықтан ең ұзын адам екінші тұрса, ол ешқашанда бірінші болып тұра алмайды.Бойларының ұзындықтары бойынша тұрғызу әр қашанда орындала бермейді.

Бүтін сандардағы теңдеулер. Бүтін сандардағы теңдеулер – бұл теңдеулер екі немесе бірнеше айнымалалары бар, бүтін коэффициентті алгебралық теңдеулер.Бұл теңдеулердің шешімі: теңдікті тура теңдікке

айналдыратын бүтін (немесе рационал) санддар жиынтығы. Мұндай теңдеулерді зерттеуші ертедегі грек математигі Александр Диофанаттыың құрметіне диофанаттық теңдеулер деп те атайды.. Математикалық олимпиадаларда көпнесе сызықтық емес теңдеулер кездеседі. Оларды шешудің негізгі әдістерін қарастырайық. 1-есеп. Х3 - 91═ У3 бүтін сандардағы теңдеуінің шешімдерін табу керек. Шешуі: Х3 - У3 ═ 91, Х3 - У3 ═ (Х-У) (Х2+Х∙У+У2); (Х-У) (Х2+Х∙У+У2) ═ 91, Х,У бүтін сандар, олай болса, Х-У; Х2+Х∙У+У2 мәндеріде бүтін болады, х пен у-тің кез келген мәндерінде Х2+Х∙У+У2 ≥0 болатындықтан Х-У>0 91═ 1∙91═7∙13

1 + 2у + у2 +у + у2+ у2═ 91, 3 у2 +3у +1-91═ 0 ; 3 у2 +3у -90 ═ 0

D ═в2 - 4ас ═ 9+1080═1089; ; х1═ (-3+33)/6═5, х1═ -

Немесе іріктеу әдісі арқылы теңдеулер жүйелерін шешіп, келесі жауаптпр алынады. (5;6), (-6;-5), (-3;4), (-4;3) 2-есеп. Х + У ═ Х∙У; бүтін сандардағы теңдеуінің шешімдерін табу керек.

Шешуі: У ═ Х∙У-Х ═Х(У-1); У═Х(У-1); (І) Екі жағдайды қарастырамыз: а) у ═1; 1═Х(1-1); 1═ 0; 1 ≠ 0 онда теңдеудің шешімі болмайды. ә) у ≠ 1; (І) теңдеуінің екі жағында у-1 өрнегіне бөліп, түрлендіру арқылы келесі теңдіктерді аламыз.

(ІІ) теңдеуінің бүтін шешімі: у-1═ ± 1

теңдігі орындалғанда болады. Бұдан шығатыны: у ═ 0; у ═ 2; Олай болса теңдеудің екі шешімі бар. Жауабы: (0;0), (2;2)

Қорытынды: бұл теңдеуді шешуде бір айнымалыны екінші айнымалы арқылы өрнектеп, бөлшектің бүтін бөлігінтауып,алымының бүтін бөлгіштерін таптық.

3-есеп. Х2 – У2 ═ 4Х-1 бүтін сандардағы теңдеуінің шешімдерін табу керек.

Шешуі: Х2 – У2 өрнегінің мәнін 4 -ке бөлгендегі қалдықтарын қарастырамыз. х; у жұп сандар болса, онда Х2 – У2 өрнегінің мәні 4 -ке бөлінеді. Егер біреуі жұп, біреуі тақ болса онда 4-ке бөлгенде бір қалдық қалады. Егер екеуі де тақ болса, онда Х2 – У2 өрнегінің мәнін 4-ке бөлгенде екі қалдық қалады. Теңдіктің оң жағын 4- ке бөлгенде 3 қалдық қалады. 4х-1═ 4х-4+3═ 4(х-1)+3 Теңдіктің оң және сол жағын 4- ке бөлгенде әр түрлі қалдық қалатындықтан теңдеудің шешімі болмайды..

Жауабы: шешімі жоқ. 4-есеп. Х∙У ═ Х + У +3 бүтін сандардағы теңдеуінің шешімдерін табу керек. Шешуі: 3 ті 4 пен 1дің айырмасы (3═ 4-1) түрінде жазып, х,у,1 ді теңдіктің сол жағына көшіріп, келесі теңдеуді аламыз. Х∙У -Х - У -1 ═ 4 теңдеудің сол жағындағы бірінші қосылғыш пен екінші қосылғышты, үшінші қосылғыш пен төртінші қосылғышты топтап, көбейткіштерге жіктеу арқылы (у-1)(х-1) ═ 4 , есеп шарты бойынша х;у бүтін сандар болғандықтан теңдеудің сол жағында екі бүтін сандардың көбейтіндісі тұрады. Енді 4ті екі бүтін сандардың көбейтіндісі түріне келтіреміз. 4 ═1∙4 ═ 4∙1 ═ 2∙2 ═ -2∙ (-2) ═ -1∙(- 4) ═ - 4∙(-1) Нәтижесінде келесі теңдеулер жүйелерін аламыз:

Алынған теңдеулер жүйелерін шешіп, берілген теңдеудің шешімдерін табамыз. (5;2), (2;5), (3;3), (-1;- 1) (-3;0), (0;-3),

Жауабы: (5;2), (2;5), (3;3), (-1;-1), (-3;0), (0;-3),