Математикалық талдау бойынша дәрістер жинағы

Мат.анализ-4, лекция-5

§13. Лебег критерийі. Лебегтің нөлдік өлшемінің анықтамасынан бастайық. Егер ашық параллелпипедтің қабырғалары тікбұрышты координат жүйесінің остеріне параллель болса, онда оны стандартты деп атаймыз. Стандартты параллелепипедтердің санаулы санынан артық емес бірігулерді қарапайым фигура деп атаймыз. Анықтама 18: Егер кез-келген үшін көлемі , А-ны,

жабатын және мынадай ашық стандартты

параллелепипедтердің ақырлы немесе санаулы жиыны табылса, онда

кеңістігінде нүктелердің А жиыны нөлдің Лебегтік өлшеміне ие болады. Лемма7. Нөлдің лебегтік өлшемі жиындарының ақырлы немесе санаулы бірігуі нөлдің лебегтік өлшемінің жиыны болады. Дәлелденуі:

k=1, … берілген.

екенін дәлелдейік. Шындығында да, анықтама

бойынша, кез-келген үшін, мынадай қарапайым фигура

табылады да, және . Сондай-ақ,

және .

Олай болса, А жиыны нөлдің лебегтік өлшеміне ие болады. Дәлелденді. Лемма 8. болсын. Онда . Дәлелдеуі. А жиынын ждабатын кез-келген қарапайым фигура В жиынын да жабатын болғандықтан, лемманың тұжырымы нөлдің лебегтік өлшемі анықтамасынан бірден шығады. Дәлелденді. Лемма 9. Компакт , , нөлдің лебегтік өлшемі Жордан бойынша өлшемді және өлшемі нөлге тең. Дәлелденуі. Компакт А-ның лебегтік өлшемі нөлше тең болғандықтан, онда кез- келген үшін, А-ны жабатын ашық стандартты параллелепипедтердің санаулы жиынынан аспайтын және көлемі -нан кіші қарапайым фигура табылады. Осы жабылудан компактылыққа байланысты көлемі -нан кіші. Ақырлы ішкі жиынды бөлуге болады. Олай болса, А Жиыны Жордан бойынша өлшемді және оның Жордан өлшемі нөлге тең. Дәлелденді. Функция Р параллелепипиедінде шектелген болсын. нүктелерінен тұратын, шартын

қанағаттандыратын кубты арқылы белгілейміз.

Мұндағы

Анықтама 19. Нүкте -дегі функция -тің тербелісі деп

яғни

шамасын айтады, мұндағы

Лемма 10. Функция нүктесінде үзіліссіз болады, сонда тек

сондағана, егер болса. Дәлелдеуі:

Қажеттілігі: Функция нүктесінде үзіліссіз болсын. деп

ұйғарайық,. кубын қарастырамыз. шамасының

анықтамасынан аламыз. Бұдан, мынадай және

нүктелері табылады.

. Сондай-ақ . Бірақ онда, алдыңғы

теңсіздікте кезде шекке көшіп және нүктесінде

функциясының үзіліссіздігін қолданып, аламыз. Бұл қарама-

қайшылықты теңсіздік, алынған ұйғарым дұрыс емес екенін көрсетеді.

Олай болса, . Дәлелденді.

Жеткіліктілігі: болғандықтан, кез-келген үшін мынадай

табылады да, әрбір үшін аламыз.

деп қоямыз. Сонда, соңғы шарты нүктесінде функциясының

үзіліссізділік шарты болады. Дәлелденді.

шартын қанағаттандыыратын, нүкттелер жиынын

арқылы белгілейміз. Лемма 11. жиыны тұйық. Дәлелденуі:

- жиынының шектік нүктесі. - -ның шектік нүктесі

болғандықтан, -ге жинақталатын, тізбегі табылады. Кез-

келген үшін табылады.

-ашық жиын болғандықтан, мынадай табылады да,