11 сынып алгебрасынан математикалық модельдеу бағдарламасы

Аннотация

Статьяда табиғаттағы құбылыстардың және техникалық үдерістердің математикалық моделдерінің жалпы ұғымы туралы және оның ішінде дифференциалдық теңдеулермен берілетін моделдер туралы мағұлыматтар қарапайым, көпшілікке ұғынықты тілде баяндалады. Математикалық моделдерді ауыл мектептерінің жоғарғы сынып оқушыларына оқытудың мәселелері талқыланады. Осы тақырып бойынша мектеп факультативін ұйымдастырудың бір ғылыми-әдістемелік жобасы ұсынылады.

Кілт сөздер: математикалық модель, дифференциалдық теңдеу, табиғат құбылыстары, техникалық үдесіс, диференциалдық теңдеуді интегралдау, дифференциалдық теңдеудің шешімі.

Аннотация

В статье докладывается о природных явлениях и о общем понятии математических моделей технических процессов, и конкретно о моделях, которые представлены в виде дифференциальных уравнений на языке понятном для широкой публики. Математические модели будут рассмотрены для обучения учеников старших классов средней школы в сельских школах. По этой теме представлен проект организации научно-исследовательского факультатива.

Ключевые слова: математическая модель, дифференциальное уравнение, природные явления, технические профцессы, интеграл дифференциальных уравнений, решение дифференциальных уравнений.

Annotation

The article reports on natural phenomena and the general concept of mathematical models of technical processes, and specifically about models that are presented in the form of differential equations in a language understandable to the general public.Mathematical models will be considered for the training of high school students in rural schools. A project for the organization of a research elective has been presented on this topic.

Key words: mathematical model, differential equation, natural phenomena, technical processes, integral of differential equations, solution of differential equations.

Қаратаева Гүлбану Атағонысқызы

Байғанин орта мектебінің математика пәні мұғалімі

М.Өтемісов атындағы БҚМУ, математика қазақ бөлімінің 1-курс магистранты

Ғылыми жетекші: Сартабанов Жайшылық Алмағанбетұлы

ҚР еңбек сіңірген жоғарғы мектеп қызметкері, Қазақстан ҰЖҒА Академигі, физика-математика ғылымдарының докторы, профессор

Математикалық моделдеуге байланысты мектеп факультативін жүргізудің технологиясы мен әдістемесі

(әр сабақтың жоспары, оқыту әдістемесі, игеруі, бағалануы, қортындылануы, нені білу керек еді, не иеленді, дағдыландыру және бекіту мысалдары)

Математиканың мектептегі бұрынғы кездегі бағдарламаларында мәтінді арифметикалық есептер шығару есептің қойылу мазмұны бойынша оны ойша моделдеуге ойысатынды, одан әрі есептің берілгенін, қысқаша, математикалық белгілеулерді пайдаланып жазу арқылы, мәтін бойынша не берілгенін және нені анықтау керектігін шешіп алатынды. Бұл, ұстаздар тілімен айтқанда, есепті шешудің бірінші, негізгі бөлігі болатын-ды. Мұны дұрыс құрастыру – есептің жартысын (50 пайызын) шешкенмен пара-пар деп бағаланатын-ды.

Бұлайша сабақ беру үрдісі орта сыныптарды алгебра пәні бойыша сабақтарда жалғасып, алдымен, мәтінді есептердегі белгісіздер саны біреу болса- теңдеу құрылып, бірнешеу болса – теңдеулер жүйелері құрылып, мәтіндік есептер формулалар тілінде, демек, қазіргіше айтсақ, математикалық моделдер шешу арқылы жазылып, содан кейін, теңдеу мен теңдеулер жүйесін әдәстемелерінің қолдануымен есеп толық шығарылатын-ды.

Осы есеп шығаруға үйрету әдісі, геометрия пәнінің ерекшелігіне байланысты бұрынғы кезде де қазіргі кезде де геометрия сабағында негізінен сақталып келеді.

Құбылыстар уақытпен құбылатыны белгілі. Ендеше, негізгі айнымалы шама-уақыт. Математикада және физикада оны t әріпімен белгілейді және ол белгілі бір мезеттен бастап өткен уақыт шамасын білдіреді. Өмірдегі өзгерістерді, әдетте, құбылыстар деп атайды. Олар, қандай болмасын, біл күштердің әсерінен болады да, ал күштер уақыттың өтуіне сәйкес құбылып отырады. Ендеше, құбылыстың құбылмалы шамасы әсер етуші күштің шамасымен мөлшерленеді. Күшті ғылымда f әріпімен белгілейді және оның уақытпен байланытығын білдіру үшін f=f(t) белгілеуін еңгізген. Демек, f- күштің өзгеру заңдылығын сипаттаса , f(t)- әрбір t моментіндегі күштің шамасын сипаттайды. Әдетте, әр құбылыстың құбылмалығын сипаттайтын шамасы болады. Ол шаманы x әрпімен белгілесек, онда ол х шамасы t уақытқа және f=f(t) күшіне байланысты өзгереді. Демек, құбылыстың құбылмалық заңдылығы-х уақыт- t және күш - f=f(t) арқылы сипатталып, қортындысында х- айнымалы шамасы t-айнымалы шамасына сәйкес өзгеретіндігін көреміз. Демек, немесе – айнымалы шамасы құбылыстың уақытқа сәйкес құбылмалығын сипаттайды. Мұнда құбылыс өзгеріс – х уақыт –t және күш шамалары –заңдылығымен беріліп тұрғанын білеміз. Немесе қортындылап, х айнымалы шамасының t айн

Өмірде, демек, ғылымда құбылысты туындататын күштер – оның құбылмалық жылдамдығы - және үдеуі - шамалармен анықталады да, құбылыс - заңдылығы түрінде анықталады . Сөйтіп құбылыс өзінің құбылмалық шамасы –, құбылу жылдамдығы - және құбылу үдеуі - шамаларымен анықталатынын көреміз. Мұндағы құбылу жылдамдығы айнымалысының ға байланысты өзгеру жылдамдығы , ал құбылу үдеуі айнымалысының өзгеруінің

үдеуі болып табылады. Ендеше , туындының механикалық мағыналарын еске алсақ,

болатындығы белгілі. Сайып келгенде , құбылыс барысында әсер етуші күштер мен оған қарсы күштердің тепе-теңдігі сақталады. Олай болса , құбылыс t-уақыт , x-құбылмалық шамасы , – құбылу жылдамдығы, құбылу үдеуі шамаларын байланыстыратын Ғ-тепе-теңдік заңдылығымен берілетінін көреміз. Ендеше , енгізген математикалық белгілеулеріміз арқылы ос айтқанымызды

теңдеуі түрінде жазуға болатындығын байқаймыз. Мұндағы -құбылыстың басталу мезеті, оның аяқталу моменті, ережесі немесе заңдылығы ғылымда эксперимент жолымен анықталады, ал зерттелген құбылыстардың мұндай заңдылығы белгілі болып табылады. Мысалы, Ньютонның екінші заңы бойынша әсер етуші күштің шамасы қозғалыстағы дененің –массасы мен қозғалыс үдеуі арқылы

өрнегімен есептеледі де, оған қарсы тең әсерлі күш -уақыт, жүрілген жол және жылдамдықпен өрнектелетін кедергі күш арқылы беріліп, жалпы заңдылығымен анықталып,

Түріндегі математикалық өрнек арқылы жазылады. Құбылыс барында әрбір t моментінде тепе – теңдігі сақталады. Ендеше , құбылыс заңдылығының сақталуымен сипатталады да, (2) және (3) өрнектерді ескеріп, құбылыстың өту заңдылығын

түрінде жазамыз. Әрбір моменттегі құбылыстың мөлшерлік шамасы осы (4) тепе-теңдіктен анықталады.

Тепе-теңдік белгісіз х –шамасымен беріліп тұрғандықтан оны теңдеу деп атайды, ал осы (4) теңдеу Ньютон механикасындағы дененің қозғалысының жалпы теңдеуі болып тадбылады. Осы жердегі құбылыс – дененің -күші әсерімен болған қозғалыс, ал (4) теңдеу осы құбылыстың математикалық моделі. Сонымен, айнымалы шамалар математикасында құбылыстар әртүрлі айнымалы шамаларды байланыстыратын теңдеулермен беріліп, сол теңдеулерден құбылыстың өзін мөлшерлейтін шаманы анықтау мәселелеріне келеді екенбіз.

Мектеп оқулықтарында (4) математикалық моделдерді шешу қарастырылмайды, бірақ оны шешуге қажетті 1) Дифференциалдау амалын және оған кері; 2) Интегралдау амалдарын қарастырып, олардың геометриядағы қолданыстарымен…