Алгебрадан сыныптан тыс олимпиада материалдары, 11-сынып

Межрегиональная олимпиада «Будущие исследователи – будущее науки»

Математика Отборочный тур 2012‐2013 уч.г.

1. В произведении

( 10)( 9) ...( 9)( 10) x x x x + + ⋅ − −

c

раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Получилось выражение вида

21 2 ... x ax bx + + + + .

Найти числа a и c.

2. Три велосипедиста одновременно стартовали по трём параллельным прямым, причём в момент старта они находились на одной прямой. Через 1 секунду после старта треугольник, образованный велосипедистами, имел площадь 5м2. Какую площадь будет иметь такой треугольник через 10 секунд после старта?

3. Решить в натуральных числах систему

2 3 ,. 2( ) x y z xyz x y z

4. В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 10000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх их них все станки могли быть использованы в работе?

5. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Известно, что центры окружностей, вписанных в треугольник АВК и описанной около треугольника АВС, совпадают. Найти углы треугольника АВС.

6. Найти наибольшее натуральное число n, для которого система

2 1 2, 2 3 ............. 1 n

x x

n x n

имеет хотя бы одно решение.

7. При помощи циркуля и линейки построить четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и

а) по двум сторонам;

б) по двум углам;

в) стороне и углу.