Функцияның нүктедегі шегі және шектер туралы теоремалар

№ 9 Тақырыбы: Функцияның нүктедегі шегі. Шектер туралы теорема

Атыханов Талғат Атыханұлы (асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)

Оң жақ бағандағы тапсырмаларды құрастырушы мұғалімдердің есіне:

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді). «Көпір» (жеке жұмыс) тапсырмалары өткен тақырыптар бойынша жаңа сабақты меңгеруге негіз болатын қайталау тапсырмалары

Сұрақтаға жауап бер.

1. Функцияға анықтама бер. Х жиынындағы х–тің әрбір мәніне Y жиынының нақты бір у мәнін сәйкес қоятын ереже

немесе заңдылық функция деп аталады. 2. Жұп және тақ функцияларға анықтама бер. Егер у=f(x) функцияның анықталу облысы симметриялы жиын болып, кез келген х

аргументі үшін f(–x)= f(x) теңдігі орындалса функция жұп, ал f(–x)= –f(x) теңдігі орындалса, функция тақ деп аталады. 3. Периодты функцияларға анықтама бер. Егер у=f(x) функциясы үшін Т≠0 саны табылып және анықталу облысынан алынған кез

келген х үшін f(x+Т)=f(x) теңдігі орындалса, онда ол периодты функция деп аталады.Т≠0 санын функцияның периоды деп атайды. 4. Қайтымды функцияға анықтама бер. Өзінің әрбір мәнін анықталу облысының бір ғана нүктесінде қабылдайтын функцияны

қайтымды функция деп атайды. 5. Кері функцияға анықтама бер. Егер у=f(x) функциясы Х анықталу облысында бірсарынды өспелі (кемімелі) функция

болса, онда осы функцияның У мәндер жиынында анықталған бірсарынды өспелі (бірсарынды кемімелі) функция оның кері функциясы болады. ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай жасау: а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша марапатталады 1-қадам (топтық жұмыс) - теория бойынша «Білу» критерийінің индикаторлары: (тақырып мазмұны бойынша кім?не? қандай? қалай?нені? қашан?не істеді сияқты сұрақтарға жауап беретін толық ақпарат іріктеліну керек)

Функцияның нүктедегі шегіне анықтама берер алдында бірнеше мысал қарастырайық: 1-Мысал: ( ) функциясы берілсін. Бұл функция бүкіл сан осінде анықталған. Мәселен, х=2 нүктесінде анықталған . Егер х айнымалысының мәндері 2-ге жақындай түссе, онда ( ) функциясының сәйкес мәндері 8 –ге жақындайды. Мысалы оны мына кестеден көруге болады:

х 1,93 1,96 1,987 2 2,01 2,027 2,0312 7,19 7,53 7,845 8 8,12 8,328 8,3803 Жалпы, қаншалықты аз болса да, | | теңсіздігі орындалатындай х– тің мәндерін табуға болады. Ол үшін х айнымалысының мәндері 2-ге мейлінше «жақын» болуы жеткілікті. Сондықтан х айнымалысының мәндері 2-ге ұмтылатындай болып өзгерсе, онда ( ) функциясының сәйкес мәндері 8 –ге жақындайды. Бұл жағдайда 8 санын ( ) функциясының х аргументі 2-ге ұмтылғандағы шегі деп атайды. Оны былай жазады: .

2 – Мысал: ( )

функциясын қарастырайық. Бұл функциясының анықталу облысы ( ) ( ) ( ) жиыны, яғни х нүктесінде анықталмаған.

Егер х– тің –ден сәл ғана өзгешілігі болса, онда

бөлшегінің бөлімі нөлге тең болмайды, оның мағанасы бар. Сондықтан бұл функцияның болғандағы аргументтің кез келген мәндеріндегі өзгеру тәртібін қарастыруға болады. Енді х– тің мәндері –ге жақындаған сайын берілген функцияның сәйкес мәндері қалай өзгеретінін қарастырайық:

х -1,3 -1,2 -1,1 -1 -0,99 -0,98 -0,97

-2,3 -2,2 -2,1 Функция анықталмаған

Осы кестеден х -1–ге (оң жағынан да, сол жағынан да) жақындаған сайын берілген функцияның сәйкес мәндері -2–ге жақындайтынын көру қиын емес.

2-қадам (топтық жұмыс) - теория бойынша «Түсіну» критерийінің индикаторлары: (неге? неліктен? себебі? не үшін?сұрақтары оқушының жоғарыда берген жауаптарына оларды тереңдету үшін қойылады)

Енді жоғарыдағы деректерді математикалық жолмен көрсетейік. Басқаша айтқанда, х– ті

-1–дің мейлінше аз аймағынан алу арқылы |

| қосындысын кез келген санынан кіші етуге болатынын көрсетейік. Шынында да , онда

болғандықтан |

| (1) теңсіздігін | | (2) түрінде жазуға болады. Сонда (2) теңсіздіктен (1) теңсіздік орындалатындай х нүктесінің аймағын аламыз (бұл аймаққа х нүктесі енбейді). Сонымен х– тің

мәндері –ге шексіз жақындаған сайын ( )

функциясының мәндері -2–ге жақындай береді. Бұл жағдайда х нүктесінде анықталмағанымен, оның х аргументі

-ге ұмтылғандағы шегі бар деп есептеу керек:

Анықтама: Егер кез келген саны үшін нүктесінің аймағы табылып, осы аймақтағы әрбір ( ) үшін | ( ) | теңсіздігі орындалса,онда А санын ( ) функциясының нүктесіндегі шегі деп атайды және былай жазады: ( ) Анықтама: Анықталу облысының кез келген нүктесіндегі f(x) функциясының мәндерінің абсолют шамасы белгілі бір b>0 санынан кіші немесе оған тең болса, яғни | ( )| ,онда ол осы жиында шектелген функция деп аталады. Анықтама: х аргументі ұмтылатын а мәні y = f(х) функциясының анықталу облысының ішінде жатса, онда функцияның сол нүктедегі мәні оның шектік мәні болып табылады, яғни а саны функцияның анықталу облысына тиісті болса, онда ( ) ( ) Мұнда lim - латын тіліндегі «limes» сөзден алынған, шектік мән деген ұғымды береді. 1-Мысал: y = f(х) функциясының х нүктесі 3-ке ұмтылғандағы (х→3) мәнін анықтайық: a) ( ) б) ( )

Шешуі: х = 3 нүктесі функциялардың анықталу облысының ішінде болғандықтан, олардың х = 3 нүктесіндегі мәнін табуға болады.

б) ( )

а нүктесі функцияның анықталу облысына кірмегенімен, аргумент х→а жағдайдағы функцияның шектік мәнін табуға болады.

2-Мысал.

функциясының х→2 ұмтылғандағы мәнін анықтайық. Шешуі: х =2 нүктесі функциялардың анықталу облысына кірмейді. Сондықтан х→2 болғандағы функцияның мәнін түрлендіріп, шектік мәнін анықтаймыз:

Жауабы:

3-қадам-(топтық жұмыс) теория бойынша «Талдау» критерийінің индикаторлары: 1.Салыстыр, 2. Айырмашылығы неде? 3. Ұқсастығы неде? 4.Тақырыптың басты идеясын жаз деген тапсырмалар болу керек. Немесе 1-3 тапсырмаларды Венн диаграммасы арқылы қамтуға болады.

Шектің жалғыз болуы туралы теорема. Теорема: Функцияның нүктедегі бір ғана шегі болады. Дәлелдеу: х=а нүктесінде f(x) функцияның екі әр түрлі А және В шектері бар болсын. Шектің анықтамасына сәйкес аргументтің мәндерінің кез келген хn а, және болатын хn, тізбегі үшін: ( ) ( ) Тізбектің шегі жалғыздығы бойын-ша А=В теңдігіне келеміз. Бұл функцияның екі әртүрлі шектері бар деген болжамымызға қарама- қайшылық әкеледі. Сондықтан, функцияның нүктеде тек бір ғана шегі бар болады.■

шегін табу керек. нүктесінде бөлшектің бөлемі де, алымы да нөлге айналады. Сондықтан бұл анықталмағандықтан құтылу үшін бөлшектің алымын да, бөлімінде бөлшек алымының түйіндесі √ – ге көбейтеміз: