Геометриядағы аксиомалар мен теоремаларды оқыту маңызы

Г.Ә.Батырқанова - №180 ЖББ мектептің математика пәні

мұғалімі

НЕГІЗГІ МЕКТЕПТЕГІ ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫ БОЙЫНША

АКСИОМАЛАР МЕН ТЕОРЕМАЛАРДЫ ОҚЫП –

ҮЙРЕНУДІҢ МАҢЫЗДЫЛЫҒЫ

Бұл жұмыста негізгі мектептегі геометрия курсы бойынша аксиомалар мен теоремаларды оқып-үйренудегі маңыздылық қамтылады. Көптеген оқушылар үшін теоремаларды дәлелдеу және есеп шығару қиындық әкелетінін, аксиомаларға ерекше көңіл бөлмейтінін тәжірибе көрсетуде. Сондықтан бұл мақалада негізгі аксиомалар, теоремалар, теоремаларды дәлелдеу жоспары мен көңіл бөлінуге тиіс әрекеттер, дәлелдемелерді талдау атап көрсетілген.

В данной работе рассматриваются важность в изучении аксиом и теорем в курсе геометрии в основной школе. Как практика показывает, что многие ребята остаются пассивными при доказательстве теорем и при решение задач, не уделяет особое внимание к аксиомам. Поэтому в статье мы рассматриваем основные аксиомы, теоремы, план доказательств теоремы, важные действия в доказательстве теоремы, а также анализ доказательств.

Using of the text importance in the study of theorems and axioms in a course geometry at basic school. As practice shows that many schoolchildren remain passive at proof of theorems and decision of tasks, does not spare the special attention to the axioms. Therefore in the article we examine basic axioms, theorems, plan of proofs of theorem, important actions in proof of theorem, and also analysis of proofs.

Түйін сөздер: теорема, аксиома, теоремаларды дәлелдеу, планиметрия, стереометрия, геометрия.

Ключевые слова: теорема, аксиома, доказательва теорем, планиметрия, стереометрия, геометрия.

Keywords: theorem, axiom, proofs of theorems, planiemetry, stereometry, geometry.

Математиканың негізгі салаларының бірі – геометрия пәні. Геометрияны жүйелі түрде баяндауға талпыныс б.з.д. V-IV ғасырларда басталған. Негізінен алғанда, геометрия Евклидтің «Негіздерінде» ғылыми тұрғыдан баяндалған.

Мектептегі геометрия оқулығы келесідей құрылады: 1. Анықтамасы берілмейтін негізгі ұғымдар баяндалады. 2. Негізгі ұғымдардың қасиеттері көрсетілген аксиомалар

тұжырымдалады. 3. Осы негізгі ұғымдар негізінде геометриялық ұғымдарға

анықтамалар беріледі. 4. Анықтамалар мен аксиомалар негізінде теоремалар

дәлелденеді [1]. Геометрияны оқытуда аксиомалар мен теоремалардың алатын орны ерекше. Оны оқытудың негізгі мақсаты – білім алушының ауызекі сөйлеу және жазу қабілеттерін дамыту, сондай-ақ білім

алушыға нәтижені талдауды, өз тұжырымын аргументтеуді, дәлелдеуді үйрету. Сондай – ақ, мектеп геометрия курсында оқушылар үшін теоремаларды дәлелдеу мен есептер шығару қиынға соғады. Геометрия курсында теоремалар өте көп. Сондықтан бұл тақырыпқа жете көңіл бөлу маңызды болып саналады.

Негізгі мектептегі геометрия курсындағы аксиомалар мен теоремаларға тоқталып өтейік.

Геометрияның аксиомалары бастапқы жағдайларды білдіреді, себебі бүкіл геометрия осы аксиомалар негізінде құрылады, яғни логикалық пайымдаулар арқылы геометриялық фигуралардың қасиеттері тағайындалады. Аксиомаларды негізгі геометриялық ұғымдардың қасиеттері айтылады. Аксиома ұғымына анықтама беру үшін, алдымен тұжырымдаманы дәлелдеу ұғымымен танысайық. Берілген тұжырымдаманы ретімен талдау арқылы ақиқаттығына көз жеткізуді дәлелдеу деп атайды. Ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын сөйлем аксиома деп аталады.

Мектеп курсында берілген аксиомалар тобының тізбегі мынадай:

а) Төмеңгі сыныптарда геометриялық фигуралардың негізгі қасиеттері планиметрияның аксиомалар жүйесі ретінде қабылданады:

- жазықтықтағы нүктелер мен түзулердің бір – біріне тиісті болатыны туралы тиістілік аксиомалары:

І1: Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

І2: Кез – келген 2 нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады. - Нүктелердің түзуде орналасуының қасиетін «арасында» деген ұғым арқылы баяндауға болады. Бұл баяндаулар геометрияда реттік аксиомалары болып табылады:

ІІ1: Түзудегі 3 нүктенің біреуі және тек қана біреуі қалған екеуінің арасында жатады.

ІІ2: Түзуде жатқан нүкте сол түзуді екі жарты түзуге бөледі. ІІ3: Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. - Кесінділердің теңдігіне сүйене отырып, кесінділерді өлшеудің аксиомаларын келтіруге болады:

ІІІ1: Әрбір кесіндінің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы бар болады.

ІІІ2: Егер берілген нүкте кесіндінің ұштарының арасында жатса, онда берілген кесіндінің ұзындығы пайда болған кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

ІІІ3: Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градустық өлшемі бар болады.

ІІІ4: Егер сәуле бұрыштың төбесінен шығып, оның қабырғаларының арасында жатса, онда берілген бұрыш пайда болған бұрыштардың қосындысына тең.

- Кесінділерді және бұрыштарды өлшеп салудың негізгі қасиеттерін баяндауға болатын аксиомалар тобы:

IV1: Қандай сәуле болса да, оның бойына бас нүктесінен бастап ұзындығы берілген кесіндіні бір ғана жолмен өлшеп салуға болады.

IV2: Градустық өлшемі 180 градустан кіші болатын бұрышты, берілген жарты жазықтықта берілген сәуледен бастап бір ғана жолмен салуға болады.

- Параллельдік аксиомасы: V: Жазықтықта берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель тек бір ғана түзу өтеді [2].

ә) Стереометрия аксиомаларынан мектеп курсында нүктелердің, түзулердің және жазықтықтардың кеңістіктегі өзара орналасуы туралы 3 аксиома берілген, ал қалғандары оқулық соңында қосымша ретінде атап өтілген.

А1: Бір түзудің бойында жатпайтын кез-келген 3 нүкте арқылы бір және тек қана бір жазықтық жүргізуге болады.

А2: Егер бір түзудің екі нүктесі бір жазықтықта жатса, онда түзудің барлық нүктелері осы жазықтықта жатады.

А3: Егер 2 жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда бұл жазықтықтардың ортақ нүктелері жататындай ортақ түзуі бар болады [3].

Осы аксиомалар жетік меңгерген оқушы үшін көптеген теоремаларды дәлелдеу жеңіл болады. Енді теоремаларға тоқтап өтсек.

Геометрияда анықтамалардан және аксиомалардан басқа геометриялық ұғымдардың қасиеттері сипаттау үшін теоремалар қолданысқа енеді. Ақиқаттығы дәлелденетін сөйлемді теорема деп атаймыз. Теорема шарттарының негізінде оның қорытындысының дұрыс болатынын ретімен талқылап көрсетуді оның дәлелдемесі деп атайды.

Теореманы дәлелдегенде оған дейін белгілі болған анықтамалар, аксиомалар және дәлелденген теоремалар пайдаланылады. Теорема 2 бөліктен тұрады: бірінші бөлігі – теореманың шарты - берілгені, екінші бөлігі теореманың қорытындысы – дәлелденуге тиісті қасиеттер.

Теоремаларды тура және кері жору арқылы дәлелдейді. Теореманы кері жору әдісімен дәлелдеуде теореманың мағынасына қарама – қайшы сөйлем тұжырымдалады. Талқылау нәтижесінде аксиомаға немесе теорема шартына қайшы тұжырымға келеміз. Қайшылыққа келсек, онда біздің сөйлеміміз дұрыс емес деп, берілген теорема дұрыс деп қорытынды жасаймыз [2,3].

1 – мысал: Теорема: қиылысатын 2 түзу арқылы бір және тек қана бір жазықтық өтеді.

Бұл теореманы дәлелдеуде, оқушыларға қиындық туғызбас үшін теорема мағынасы мұғалім тарапынан түсінікті баяндалуы қажет. Ең алдымен, бұл теоремада нені дәлелдеу керектігін анықтап алған дұрыс және сызбасын сызып аламыз.

Дәлелдеу: Қандай да бір нүктесінде қиылысатын мен түзулерін қарастырамыз (1 - сурет) және бұл түзулер арқылы бір және тек қана бір жазықтық өтетінін дәлелдейміз.