Геометриядағы Гильберт аксиомаларын оқыту қажеттілігі

ӘОЖ 373.016:51

Хисамиев З.Г. физика-математика ғылымдарының кандидаты

Батырканова Г.Ә. 6М010900 – математика мамандығының ІІ курс магистранты

МЕКТЕПТЕГІ ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНА ГИЛЬБЕРТТІК АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІН ЕНГІЗУДІҢ ҚАЖЕТТІЛІГІ

1899 жылы Д.Гильберттің «Геометрия негіздері» атты кітабы жарыққа шықты. Бұл кітапта евклидтік геометрияны логикалық құру үшін алғашқы болып аксиомалар тізімі берілді.

Д.Гильберт бойынша евклидтік кеңістік құрылымының базасы 3 жиыннан тұрады: . – нүктелер жиыны ; – түзулер жиыны ; – жазықтықтар жиыны . Бұл жиындарда 3 қатынас берілген: «тиісті», «арасында жатады», «конгруэнтті». [1,3]

Геометрияның аксиомаларын 5 топқа бөледі:

І. 1 – 8 аксиомалар – тиістілік аксиомалары;

ІІ. 1 – 4 аксиомалар – реттілік аксиомалары;

ІІІ. 1 – 5 аксиомалар – конгруенттілік аксиомалары;

IV. параллельдік аксиомалары;

V. 1 – 2 аксиомалар – үзіліссіздік аксиомалары;

І топ аксиомалары: тиістілік аксиомалары.

Кез-келген 2 нүкте және арқылы а түзуін жүргізуге болады және бұл нүктелері арқылы түзуіне тиісті.

Кез-келген 2 нүктесі үшін түзуі бар және бұл нүктелер тек осы түзуін анықтайды.

- Әр түзуде кем дегенде 2 нүкте бар;

Кез-келген жазықтықта 1 түзуде жатпайтын кем дегенде 3 нүкте бар.

Бір түзуде жатпайтын 3 нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады.

жазықтығына тиісті кез-келген 3 нүкте алсақ, олар тек осы жазықтығын анықтайды.

түзуінде жататын 2 нүкте жазықтығында жатса, онда түзуі жазықтығына тиісті.

және жазықтықтарының ортақ нүктесі болса, онда олардың кем дегенде екінші ортақ нүктесі бар.

Бір жазықтықта жатпайтын кем дегенде 4 нүкте бар.

1.7 аксиомасы кеңістіктің 3-тен көп өлшемі болмайтынын көрсетсе, ал 1.8

аксиомасы керісінше, кеңістіктің 3-тен кем өлшемі болмайтынын көрсетеді. 1.1 – 1.3 аксиомаларын І топтың жазықтық аксиомалары деп атасақ, 1.4 – 1.8 аксиомаларын І топтың кеңістіктік аксиомалары деп атайды. [1]

Бұл аксиомалардан шығатын теоремаларды атап өтейік:

І теорема: а) Бір жазықтықтың тең емес 2 түзуі бір нүктеде қиылысады немесе қиылыспайды; б) 2 жазықтық 1 түзу бойынша қиылысады не қиылыспайды; в) жазықтықта жатпайтын түзу осы жазықтықтың 1 нүктесінде қиылысады немесе қиылыспайды.

ІІ теорема: а) Түзуде жатпайтын нүкте арқылы және түзу бойынша жалғыз жазықтық жүргізуге болады; б) 1 нүктеде қиылысатын 2 түзу арқылы жалғыз жазықтық жүргіземіз.

ІІ топ аксиомалары: реттілік аксиомалары.

Бұл топтың аксиомалары «арасында» ұғымын анықтайды және бұл ұғымның негізінде түзудегі, жазықтың және кеңістіктегі нүктелердің ретті орналасуын қалыптастырады.

2.1 Егер 1 түзуде жататын нүктесі және нүктелерінің арасында жатса, онда нүктесі және нүктелерінің арасында жатады (1 сурет).

2.2 түзуіндегі кез –келген және 2 нүктесі үшін нүктесі табылып және нүктесі және нүктелерінің арасында жататындай нүктесі табылады (2 сурет).

2.3 Бір түзудің бойында жататын 3 нүктенің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады (3 сурет).

2.4 1 түзуде жатпайтын 3 нүкте болса, онда түзу және нүктелерінің ішкі нүктесінен өтсе, онда ол кем дегенде немесе кесіндісінің ішкі нүктесінен өтеді (4 сурет).

І, ІІ топ аксиомаларынан шығатын теоремалар:

ІІІ теорема: түзуінде кез – келген және нүктелері үшін мен нүктелерінің арасында жататын кем дегенде нүктесі бар.

Дәлелдеуі:

1.3 аксиомасына сәйкес түзуінен тыс, қандай да бір нүктесі бар. Ал 2.2 аксиомасына сәйкес, түзуінде қандай да бір нүктесі бар. нүктесі кесіндісіне тиісті. 2.2 және 2.3 аксиомаларына сәйкес кесіндісінен тыс орналасқан қандай да бір нүктесі бар. Осылайша, 2.4 аксиома негізінде түзуі кесіндісімен қандай да бір нүктесінде қиылысады (5 сурет).

Теорема дәлелденді.

IV теорема: 1 түзуге тиісті нүктелерінің арасындағы біреуі қалған екеуінің арасында жатады.

V теорема: 1 түзудегі кез – келген 4 нүктені деп белгілейміз, осыған сәйкес мұндағы нүктесін мен нүктелерінің және мен нүктелерінің арасында, сондай-ақ нүктесін мен нүктелерінің және мен нүктелерінің арасында жататындай белгілеу керек.

VI теорема (5 теоремаға қатысты): Егер түзудің ақырғы нүктелерінің саны берілсе, онда оны деп белгілейміз. Мұндағы нүктесі және нүктелерінің арасында, ал нүктесі және нүктелерінің арасында, ал нүктесі және нүктелерінің арасында орналасуы керек т.с.с. Сондай-ақ, егер кері белгілеу болса, онда дәл осылай жалғаса береді.

VII теорема: Түзудегі 2 нүктенің арасында жататын нүктелер шексіз.

VIII теорема: жазықтығына тиісті түзуі жазықтығының түзуіне тиісті емес нүктелерін 2 облысқа бөледі. Қасиеті: 1-ші облыстағы нүктесі 2-ші облыста жатқан нүктесімен түзуінің 1 нүктесі жатқан кесіндісін анықтайды, ал кез – келген және 2 нүктесі түзуінің нүктелері жатпаған кесіндіні анықтайды.

IX теорема: жазықтығына тиісті кез – келген қарапайым көпбұрыш, көпбұрышқа тиісті емес жазықтығының нүктелерін – ішкі және сыртқы 2 облысқа бөледі.