Инженерлік есептердің математикалық модельдері, 11 сынып

«Инженер – техникалық есептердің математикалық моделдері» факультатив сабақтарының күнтізбелік жоспары

тақырып

сағат саны

ұйымдастыру формасы

күні

Дененің биіктіктен түсуінің математикалық моделі (Математикалық модель және дифференциалдық теңдеу ұғымы)

Лекция

Көреткіштік өзгеріс үдерісінің математикалық моделі

Тербеліс үдерісінің математикалық моделі

Сұйықтың суынуы үдерісінің математикалық моделі. Кімнің шәйі ыстық?

Сұйықтың ыдыстан ағуының математикалық моделі. Су сағаты.

Тиімді жарнаманың математикалық моделі

Сұраныс және ұсыныстың математикалық моделі

Химиялық реакцияның математикалық моделі

Экологиялық үдерістің математикалық моделі

Қорықтағы бір құбылысты зерттеуге дененің суынуының математикалық моделін қолдану

Қорытынды

Мақсаты:

Диссертациялық жұмыстың алдына дифференциалдық теңдеулердің керекті ұғымдарын беріп жекелеген құбылыстарды зерттеу әдістерімен шектеліп, олардың дифференциалдық теңдеулермен сипатталған математикалық модельдерін құрып, қойылған есептерді элементар әдістермен шешіп, шешімдерін талқылап, бастапқы қарастырған құбылыстың қалай өзгеретінін анықтауға оқушыларды машықтандыру мақсаты қойылып отыр

Міндеттері:

қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің элементар әдістерін жоспарлау керек;

көптеген физикалық, механикалық, химиялық, экономикалық құбылыстардың өзгеру заңдылықтарын біліп, олармен шәкірттерімді таныстырып, ұғындыру әдістемелерін жасақтауым керек;

функцияның және оның туындыларының механикалық мағыналары арқылы құбылыстардың математикалық моделдерін құрудың әдістерін меңгеріп, оқушыларға түсіндіру әдістемелерін жасақтауым абзал;

шығарылған математикалық есептен кері қарай жүріп құбылыстың өзгеруі туралы тұжырымдар жасай білуім керек және оған оқушыларды машықтандыруым керек.

Эксперименттік - зерттеу жұмысы бағыты.

Инженер – техникалық құбылыстарды зерттеу арқылы мектеп оқушыларына математикалық қолданыстармен таныстырып, білімдерін тереңдету, мазмұндандыру және тәрбиелеу.

Зерттеудің теориялық маңыздылығы:

1) құбылыстың моделдеу арқылы алынған дифференциалдық теңдеулердің теориялық мазмұнын жасау; 2) модельдеу әдістерін оқыту әдістемесі мен технологиясын жасақтау педагогикалық мәселесін шешу.

Зерттеудің практикалық маңыздылығы:

диссертацияда педагогикалық мәселелер қарастырылып отырғандығы оның мақсаты мен міндеттерінде келтірілген. Оның практикалық маңыздылығы да осы педагогикалық мәселелерді шешумен анықталып отыр.

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. І. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.:Наука, 1987. -432с.

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа – 11 кл.

Сартабанов Ж.А. Ақтөбе мемлекеттік университетінің «Хабаршысы» 2001, №3, 48 – 59 беттер.

Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высший математики для школьников. М.:Наука, 1987. – 336с.

Шыныбеков А. Н. Алгебра және анализ бастамалары. 11 кл. Алматы: Атамұра, 2011. -256 б.

Амелькин В.В. Дифференциальная уравнения в приложениях. М.:Наука, 1987. – 160 с.

10- 11 сынып 1 сабақ

Сабақтың тақырыбы: Дененің биіктіктен түсуінің математикалық моделі (Математикалық модель және дифференциалдық теңдеу ұғымы)

Сабақтың мақсаты: Оқушыларды жаңа ұғыммен таныстыру. Дифференциалдық теңдеулер негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып табыладынын ашып көрсету.

Сабақтың әдіс-тәсілдері: лекция, кітаппен жұмыс.

І. Жаңа материалды меңгерту:

Дифференциалдық теңдеулер негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Дифференциалдық теңдеу – бұл туындылары ( немесе дифференциалдары ) алдын –ал берілген шарттарды қанағаттандыратын функцияларды іздеуге бағытталған теңдеу. Қандай да бір табиғи құбылысты немесе процессті зерттеу нәтижесінде алынған дифференциалдық теңдеуді сол құбылыстың немесе процесстің дифференциалдық моделі деп аталады. дифференциалдық модельдер – бізді қоршаған әлемді зерттеу барысында құрылған көптеген математикалық модельдердің тек дербес жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар дифференциалдық модельдердің де алуан түрлі типтері болатынын да атап өткен жөн. Біз қарапайым дифференциалдық теңдеулерге тоқталатын боламыз, мұндай теңдеулердің ерекшелігі –ізделінді функциялар тек бір айнымалыға тәуелді болады.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді құру барысында маңызды әрі алдыңғы мәселе - бұл есепте аталған процесстің табиғаты туралы бар біліміміз. Мысалы, механикада Ньютон заңдары, электрлік тізбек теориясында Кирхгоф заңдары, химиялық реакциялар жылдамдығы теориясында массалар әрекеті заңы және т.с.с.

Бірақ, тәжірибе барысында дифференциалдық теңдеу құруға пайдаланатын заңдар белгісіз болып келетін жағдайларда көп кездеседі. Сондықтан әртүрлі болжамдар (гипотеза) арқылы айнымалылардың өзгеру процесстерін сипаттауға тура келеді. Сондай жағдайда шектік ауысу дифференциалдық теңдеуге алып келеді. Сонымен қатар, егер табылған дифференциалдық теңдеудің зерттеу нәтижелері тәжірибедегі көрсеткіштермен сәйкес келсе, онда келтірілген гипотеза процессті дұрыс сипаттады деген сөз.

Бірден интегралдау. Табиғат жөніндегі білім саласынан есептер шығару барысында қандай да бір функцияның туындыларын (бірінші, екінші т.т.) ол функцияның өзін тәуелсіз айнымалыны байланыстыратындай қатыстар жиі ұшырасады. Мысалы, Ньютонның екінші заңы бойынша массасы тұрақты материялық нүкте түзу бойымен қозғалғанда формуласы дұрыс , мұндағы – қозғалыс тудыратын күш, а-нүктенің үдеуі. Айталық, F күші тек уақытқа ғана тәуелді болсын, яғни F=F(t) . Енді үдеу деген координаталық уақыт бойынша екінші туындысы екенін еске түсірсек, ( функциясына қатысты дифференциалдық теңдеу шығарып аламыз:

Мұны шешу үшін алдымен туындыны функция үшін алғашқы функция ретінде табамыз да, одан кейін де функциясы үшін алғашқы функция ретінде табамыз. Жалпы шешімі қалауымызша алынған екі тұрақтыға тәуелді. Оларды табу үшін әдетте қандай да бір t уақыт мезетіндегі координат пен жылдамдықты көрсетіп береді.

1-мысал. Ауырлық күшінің әсерінен қозғалып келе жатқан бірлік массалы нүктенің h(t) координаты дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады (Oz осі төмен қарай тік бағытталған):

g

Бұл теңдеудің жалпы шешімінің түрі мынадай:

мен -ді көрсетіп беріп , біз жалғыз шешімді таба аламыз.

Жалпы алғанда функция үшін алғашқы F функцияны қарапайым дифференциалдық теңдеудің

шешімі ретінде қарастыруға болады, берілген функция, осы теңдеудің шешімі.

ІІ. Есептер шығару

1.(164) Төмендегі теңдеулердің ішінен дифференциалдық теңдеулерді көрсетіп , оның ретін анықтаңдар:

а) ә)

б) b)

ІІІ. Сұрақтар:

IY. Үйге тапсырма:

10-11 сынып 2 сабақ

Сабақтың тақырыбы: Көреткіштік өзгеріс үдерісінің математикалық моделі

Сабақтың мақсаты: Оқушыларға көрсеткіштік өзгеріс үдерісі туралы мағұлымат беру. Халық санының өсімі мысалымен таныстырып, есептер шығарту.

Сабақтың әдіс-тәсілдері: лекция, кітаппен жұмыс.

І. Жаңа материалды меңгерту:

Физиканың , техниканың , биологияның және әлеуметтік ғылымдардың көптеген есептерінің шешуі мынадай дифференциалдық теңдеуді

қанағаттандыратындай функцияларын табуды тілейтін математикалық есептерге келіп саяды, мұндағы k – қандай да бір константа.

Көрсеткіштік функциясының формуласын біле отырып , (2) теңдеудің

түріндегі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мұндағы С-тұрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан , (2) дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз көп болады.

(2) теңдеудің , (3) түрдегі функциялардан өзге , басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол үшін (2) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген f функциясын және көмекші

функциясын қарастырамыз g функциясының туындысын табамыз:

– тің орнына (2) теңдеуден -ті қойып, мынаны шығарып аламыз:

g функциясының туындысы нөлге тең болғандықтан, барлық х үшін болады. (4) – тен мынау шығады:

Дәлелдеу керек болған да осы болаты.

Ескерту. Жоғарыда келтірілген талқылауларда біз f функциясы бүкіл сан түзуінде анықталған және (2) теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (2) теңдеуді тек қандай да бір аралықта ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді. Әрине , ондай жағдайда (3) формуладан жалпы шешімді (2) теңдеу орындалатындай аралықта ғана табатынымыз түсінікті.

(2) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау – функция х нүктесіндегі өзгеру жылдамдығы сол функцияның осы нүктедегі мәніне пропорционал. Бұл теңдеу практикалық есептерді шешкенде жиі кездеседі.

Мысал ( Халық санының өсімі). Халық санының өсімін зерттеу барысында оның өсу жылдамдығы тұрғындар санына пропорционал болатындығы анықталған . Айталық, t уақытында тұрғындар саны N(t) – ға тең болсын. Онда халықтың t уақытындағы өсу жылдамдығы туындысына тең. Сондықтан жоғарыда айтылған пропорционалдық заңдылық бойынша

теңдігін аламыз. Мұнда k-халықтың өсу қарқынын білдіретін тұрақты шама. Бұл теңдеуді түрінде жазып, интегралдасақ,

теңдігін аламыз. Мұнда арқылы қайта белгіледік. Осыдан (1) дифференциалдық теңдеудің барлық шешімдері түрінде жазылатынын көреміз. Халық санының өсу жылдамдығы тұрғындар санына пропорционал болғанда бұл формула халық санының өсімі заңдылығын анықтайды.

ІІ. Есептер шығару.

1.(165) функциясы көрсетілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын тексеріңдер:

а) ә)

б) b)

ІІІ. Сұрақтар:

IY. Үйге тапсырма:

10-11 сынып 3 сабақ

Сабақтың тақырыбы: Тербеліс үдерісінің математикалық моделі Сабақтың мақсаты: Оқушыларға Тербеліс үдерісінің математикалық моделі туралы мағұлымат беру. Гармониялық тербеліс мысалымен таныстырып, есептер шығарту.

Сабақтың әдіс-тәсілдері: лекция, кітаппен жұмыс.

І. Жаңа материалды меңгерту:

Дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерімен бірге олардың дербес шешімдері ұғымы да қарастырылады. Атап айтқанда , дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімдеріндегі тұрақты шама С-ға белгілі бір сан мәнін беру арқылы алынатын шешімді осы теңдеудің дербес шешімі деп атайды.

Мысалы, теңдеуінің теңдігін қанағаттандыратын шешімін табу қажет. Бұл есепті шешу үшін теңдігінде деп алсақ , онда болады. Онда болғандықтан , – берілген теңдеудің бізге қажетті дербес шешімі.

Кейде дифференциалдық теңдеулердің ерекше деп аталатын шешімдері де болады. Егер g функциясының графигі берілген дифференциалдық теңдеудің барлық интегралдық қисықтарының ортақ жанама қисығы болса , онда g функциясының осы теңдеудің ерекше шешімі деп атайды (25-сурет). Мысалы, синусоидалары теңдеуінің жалпы шешімі. Ал бұл синусоидалар жиынтығының ортақ жанамалары -1 және 1 осы теңдеулердің ерекше шешімі болады (26-сурет).

Енді екінші ретті теңдеулерді қарастырайық. Бұлардың ішіндегі ең қарапайымы

түрінде жазылады. Бұл теңдеуді шешу үшін деп белгілейік. Онда болғандықтан , (5) теңдеуді түрінде жазуға болады. Осыдан Мұнда функциясы –тің алғашқы функциясы. Енді болғандықтан , теңдеуінен

теңдігін аламыз.Мұнда функциясы -тің алғашқы функциясы, ал -интегралдық тұрақты шамалар.

Осы мысалдан екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімдерінде екі белгісіз тұрақты шамалар ( болатынын көреміз . Жалпы n-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрамында n белгісіз тұрақты шама болады. Бұл тұжырымның толық дәлелдемесімен жоғары математика курсынан танысуға болады.

5-мысал. (Гармониялық тербеліс).

функциясы тұрақты мен -нің кез келген мәндерінде теңдеуінің шешімі болатынын көрсетелік және бұл теңдеудің болғандағы дербес шешімдерін анықтайық.

Шешуі.

мәндерін теңдеуіне қойып ,

теңбе-теңдігін аламыз. Олай болса , (6) функция кез келген мен үшін теңдеуінің шешімі болады.

Енді теңдеудің дербес шешімін анықтайық. болғанда:

Сондықтан теңдеудің дербес шешімі мына түрде жазылады:

теңдеуінің (6) жалпы шешімін түрінде жазуға болады. Шынында да , қосымша бұрып тәсілін қолдансақ , (6) функцияны

түрінде жазып ; белгілеулерін енгізсек , онда қосындының синусы формуласы бойынша теңдігін аламыз. Осындай заңдылықтағы қозғалысты гармоникалық тербеліс деп атайды. Мұнда А-тербелістің амплитудасы, жиілігі , ал α – бастапқы фазасы деп аталады.

ІІ. Есептер шығару

3.(166) Гармоникалық тербелістің амплитудасын , жиілігін және алғашқы фазасын табыңдар:

а) ә)

б) b)

ІІІ. Сұрақтар:

IY. Үйге тапсырма:

10-11 сынып 4 сабақ

Сабақтың тақырыбы: Сұйықтың суынуы үдерісінің математикалық моделі. Кімнің шәйі ыстық?

Сабақтың мақсаты: Оқушыларға Сұйықтың суынуы үдерісінің математикалық моделі туралы мағұлымат беру. Кімнің шәйі ыстық?

мысалымен таныстырып, есептер шығарту.

Сабақтың әдіс-тәсілдері: лекция, кітаппен жұмыс.

І. Жаңа материалды меңгерту:

Сұлтан мен Олжас кафеде шәй мен кілегейге тапсырыс берді. Оларға бір мезгілде ыссылығы бірдей екі кесе шәй мен кілегей әкеліп…