Теңдеулер мен теңсіздіктердің графиктік әдісі 7 сынып

Ы. Алтынсарин атындағы BINOM SCHOOL

мектеп-лицейі

ҒЫЛЫМИ ЖОБАНЫҢ ТАҚЫРЫБЫ:

«Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функционалдық әдісті қолдану»

Секция: математика

Тақырыбы: «Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функционалдық , әдісті қолдану»

Оқушының толық аты: Абильдинов Максат

Сынып: 7

Ғылыми жетекшісі: Хамитов Нурсултан Габитович

Астана қаласы

2023-2024 ОҚУ ЖЫЛЫ

Мазмұны

Кіріспе..............................................................................................................................3Теңдеулер мен теңсіздіктер........................................................................................4

1.1. Функция туралы түсінік...........................................................................................4

1.2. Теңдеуді графикалық әдіспен шешу........................................................................4

1.3. Теңдеулер мен теңсіздіктер. Оларды шешудің жалпы әдістері............................5

1.4. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функционалдық әдісті қолдану..............5

1.5. Теңсіздіктердің негізгі кластарын және олардың жүйелерін зерттеу әдістемесі

Қорытынды..................................................................................................................18

Пайдаланылған әдебиеттері......................................................................................20

Аннотация

Ғылыми жобада оқушы Модуль арқылы теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері жайлы жан-жақты зерттеулер жүргізген. Ұсынылып отырған ғылыми жобада оқушы тақырыпқа байланысты жан-жақты ізденіп, дереккөздер негізінде зерттеу жұмыстарын жүргізді. Ізденіс барысында оқушы интернет, т.б. ашық мәліметтерге сүйене отырып, дәлелдемелер келтірген. Теориялық бөлімдегі мәліметтерге сүйене отырып, практикалық талдаулар жүргізген. Ғылыми жобаның мақсатынан құрастырылған міндеттер бойынша жұмыстар жүргізіліп, талдаулар мен зерттеу жұмыстары дәлелді тәжірибемен ұйқасқан.

Annotation

In the scientific project, the student conducted a comprehensive study of methods for solving equations and inequalities through the module. In the proposed research project, the student conducted a comprehensive search on the topic and conducted research on the basis of sources. During the search, the student provided evidence based on open data on the internet, etc. Based on the data in the theoretical part, he conducted practical analyzes. Work was carried out on the tasks compiled from the objectives of the research project, analysis and research work were combined with evidence-based experience.

Аннотация

В научном проекте учащийся провел всестороннее исследование методов решения уравнений и неравенств с помощью модуля. В предлагаемом научном проекте учащийся провел всесторонний поиск по теме и исследования на основе источников. В ходе поиска учащийся приводил доказательства, опираясь на открытые данные интернета и др. Провел практический анализ, опираясь на данные теоретического раздела. Были проведены работы по задачам, составленным из целей научного проекта, анализ и исследовательская работа пронизаны доказательной практикой.

Кіріспе

Менің жұмысымның мақсаты: түбірлерді анықтауға немесе теңдеудің түбірі жоқ екенін (немесе теңсіздіктің шешімі бос жиын) дәлелдеуге мүмкіндік беретін теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің графикалық әдісін ұсыну.

Тақырыптың өзектілігі : Элементар функцияларды білуге негізделген графикалық әдісті теңдеулердің түбірлерінің санын және түбірлерін табу есептерін шешуде қолдануға ыңғайлы .

Функциялардың әрекетін және олардың графиктерін құруды зерттеу математиканың маңызды саласы болып табылады. Диаграммаларды құру әдістерін меңгеру көбінесе көптеген мәселелерді шешуге көмектеседі және кейде оны шешудің жалғыз құралы болып табылады. Сонымен қатар, функциялардың графиктерін құру мүмкіндігі үлкен тәуелсіз қызығушылық тудырады. Бұл зерттеу жұмысымда теңдеулерді ең қолайлы түрлендіру жолын көрсеттім. элементар функциялардың құрылысына дейін қысқарту.

Көбінесе график құру функциялардың әрекетін зерттеумен байланысты. Дегенмен, диаграмманың қажеттілігі мұнымен шектелмейді. Кейбір жағдайларда графиктер теңдеулер мен теңсіздіктердің шешімдерін табуды жеңілдетеді, аналитикалық есептеулерді азайтады және жеңілдетеді және көбінесе мұндай есептерді шешудің жалғыз әдісі болып табылады. Бұл әдісті жалғыз теңдеулер үшін ғана емес, олардың жүйелері үшін де, теңсіздіктер үшін де қолдануға болады

1. Негізгі бөлім

1.1. Функция туралы түсінік

Функция ұғымы математика мен жаратылыстану және қазіргі мектеп математика курстарының негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Функция идеясы алғаш рет кесінділер арасындағы сәйкестікке - берілген нүктенің ординатасы мен абциссасына назар аударған Декартпен кездесті. 1673 жылы ол «функция» терминін енгізді. Лейбниц функцияның осындай сипаттамасын берді. Функцияның алғашқы түсіндірмесі геометриялық сипатта болды. Біртіндеп функция ұғымы аналитикалық сипат алады. Функцияның кез келген түрдегі жиындар арасындағы сәйкестік ретіндегі қазіргі анықтамасы Н.И.Лобачевскийден келеді. 1834 жылы ол функцияны объектілер арасындағы тәуелділік, яғни объектілерді сандар ретінде анықтады.

Функциялардың қасиеттерін зерттеу қоршаған дүние құбылыстарын түсінуге және студенттерге бұл ұғымның мәні мен таралуын көрсетуге мүмкіндік береді. «Функция» терминінің әртүрлі түсіндірмелері бар. Оларда функция былай анықталады: - сандық мәні басқаның сандық мәніне байланысты өзгеретін айнымалы шама; - функция сәйкестік деп саналады, ол арқылы жиын мектебінен х элементі шығады); 2. Пропедевтика (5-6 сыныптар); 3. Негізгі білім (7-9 сыныптар); 4, 5, 6 (10-11 сыныптар). [25] Ең маңызды элементар функциялар, олардың қасиеттері мен графикасы қосымшада берілген.

1.2 . Теңдеуді графикалық жолмен шешу жолы.

Кейде теңдеулер графикалық жолмен шешіледі. Мұны істеу үшін теңдеуді түрлендіру керек (егер ол өзгертілген түрде көрсетілмеген болса) теңдік белгісінің сол және оң жағында функция графиктерін оңай салуға болатын өрнектер бар. Теңдеудің графикалық шешімі – салынған функциялардың графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссасы. Графиктер бірнеше нүктеде, бір нүктеде қиылысуы немесе мүлде қиылыспауы мүмкін. Бұдан шығатыны, теңдеудің бірнеше түбірі болуы мүмкін, немесе бір түбірі болуы мүмкін немесе мүлде болмауы мүмкін.

1.3 Теңдеулер мен теңсіздіктер. Оларды шешудің жалпы әдістері

Кейбір маңызды анықтамаларды енгізейік. Әріппен белгіленген белгісіз санды қамтитын теңдеуді теңдеу деп атайды. Теңдеу – екі функция мәндерінің теңдігі. Теңдеудің түбірі - бұл тұжырым ақиқат болатын теңдеудің облысындағы х айнымалысының кез келген мәні. Теңдеуді шешу дегеніміз оның барлық түбірлерінің жиынын табу немесе олардың жоқтығын дәлелдеу. Мектептегі математика курсында оқушыларға теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әртүрлі әдістері үйретіледі.

С.А. Шапоринский атап көрсеткендей, ғылыми танымның логикасында әрбір әдіс өзінің объективті (теориялық мазмұны) және субъективті жақтарын (әдіс құрамдас бөліктері) ажыратады. Сонымен қатар, әрбір әдіс оны жүзеге асыру формасы мен тәсілімен сипатталады. [18]

Әдістемелік әдебиеттерде [22], [23] 7-11 сыныптардың мектеп теңдеуі мен теңсіздік сызығы негізделетін барлық әдістер үш топқа бөлінеді: көбейткіштерге бөлу әдісі; жаңа айнымалыларды енгізу әдісі; функционалдық графикалық әдіс.

Бұл жұмыста функционалдық әдісті, яғни функциялардың әртүрлі қасиеттерін пайдалануды қарастырамыз. «Теңдеулер» және «теңсіздіктер» тақырыптарын оқудың басынан бастап студенттерге функционалдық әдісті қолдануды үйрету керек.2 .Практикалық бөлім

Функционалды әдіс қолданылады

1)теңдеулерді, теңсіздіктерді, жүйелерді шешудің классикалық әдістерін (эквиваленттік теоремалар, интервалдық әдістер) негіздеуде;

2)басқа әдістермен шешілмейтін мәселелерді шешу;

3) басқа есептердің математикалық моделі болып табылатын теңсіздіктерді шешу кезінде: анықталу облысын, функция мәндерінің жиынын табу, монотондылық интервалдарын табу.

1.4 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде функционалдық әдісті қолдану

Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің функционалдық әдісі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу дағдыларын жетілдіруге бағытталған. Бұл әдісті меңгеру үшін элементар функцияларды және олардың қасиеттерін білу керек. Теңдеулер мен теңсіздіктердің 77 шешімі No3 қосымшада берілген.

Сондықтан теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің бірі – функциялардың қасиеттерін пайдалануға негізделген функционалдық әдіс. Графикалық әдістен айырмашылығы, функциялардың қасиеттерін білу функция графиктерін құруды қажет етпей-ақ теңдеудің (теңсіздіктің) нақты түбірлерін табуға мүмкіндік береді. Функциялардың қасиеттерін пайдалану теңдеулер мен теңсіздіктердің шешімдерін ретке келтіруге көмектеседі.

Бір айнымалыдағы сызықтық теңдеудің графикалық шешімі.

Бізге белгілі болғандай, сызықтық теңдеудің графигі түзу, сондықтан бұл түрдің атауы. Сызықтық теңдеулерді алгебралық жолмен шешу өте оңай - біз барлық белгісіздерді теңдеудің бір жағына, біз білетін барлық нәрсені екінші жағына ауыстырамыз және теңдеу шешілді. Біз түбірін таптық.Ал мен мұны қалай жасау керектігін көрсетемін графикалық түрде.

Тапсырма . Теңдеуді графикалық түрде шешіңіз: 2 x − 10 = 2

Шешім.

1) Мүшелерді келесідей жылжытайық: 2 x = 12.

2) Функциялардың графиктерін тұрғызайық: y=2x және y=12.

Бірақ сіз басқаша шеше аласыз.

Балама шешімді қарастыру үшін теңдеуімізге оралайық:

2 x − 10 = 2.

Функциялардың графигін салайық: y=2 x − 10 y =2

Квадрат теңдеуді графикалық жолмен шешу.

Жаттығу. Шешіңіз теңдеу: x 2 + 2 x − 8 = 0

Ол үшін теңдеуді мына түрге түрлендіреміз: x 2 = -2x+8. Функциялардың графигін салайық: y = -2x+8 және y = x 2

Осы функциялардың графиктерінің қиылысу нүктелерін алайық.

Жауап ретінде мына нүктелердің абсциссаларын жазамыз: x = -4 және x =2.

Бұл теңдеуді мына теңдеуді қайта жазу арқылы шешуге болады: x^2 – 8 = -2x

Содан кейін функциялардың графиктерін саламыз: y = x^2 – 8 және y = -2x.

Сондай-ақ теңдеуді келесі түрде қайта жазу арқылы шешуге болады:

x^2 +2x = 8 .

Содан кейін біз келесі функциялардың графиктерін саламыз: y = x^2 + 2x және y = 8 .

Бұл жағдайда графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссалары бірдей болады:

x = -4 және x =2

Жаттығу. Теңдеуді шешіңіз: x² – 2x = 0

Теңдеуді келесі түрде қайта жазайық: x² = 2x

y = x² және y = 2 функцияларының графигін салып, олардың қиылысу нүктелерін табайық:

Жауабы: x=0; x=2

Жаттығу. Теңдеуді шешіңіз: x 2 +2=0

Оны былай түрлендірейік: x 2 = -2

Функциялардың графиктерін тұрғызайық: y=-2 және y= x 2

Функциялардың графиктері қиылыспайды, сондықтан теңдеудің шешімі жоқ.

Жауап: шешімдер жоқ.

Аралас теңдеулердің графикалық шешімі.

Жаттығу. Теңдеуді шешіңіз: 3/x +2 =x

Шешімі:

1) Терминдерді былай жылжытайық: 3/ x = x-2

2) Теңдеудің әрбір бөлігінен функциялардың графиктерін тұрғызайық.

y =3/x және y =x-2

Осы функциялардың графиктерінің қиылысу нүктелерінің координаталарын табайық.

Салудан функциялардың графиктері координаталары бар нүктелерде қиылысатыны анық көрінеді: (3;1) және (-1;-3).

Жауабы: x=-1; x=3

Жаттығу. Теңдеуді шешіңіз: 2 x^3 – x - 1=0

Оны былай қайта жазайық: 2 x 3 = x + 1

Теңдеудің сол және оң жағындағы функциялардың графиктерін тұрғызайық:

y= 2 x 3 (бұл функцияның графигі куб парабола) және теңдеудің оң жақ графигі: y=x+1

Конструкциядан қиылысу нүктесінің абсциссасы х=1 екені анық. Бұл жауапты жазу керек дегенді білдіреді: x=1

Мына теңдеуді графикалық жолмен шешейік: x 3 =8.

Функциялардың графиктерін саламыз: у = х 3 және у = 8., содан кейін осы функциялардың графиктерінің қиылысу нүктесінің абсциссасын табыңыз.

Жауабы: x=2

Жаттығу. Теңдеуді шешіңіз: √x – 0,5x = 0

Оны былай қайта жазайық: √x = 0,5x

Функциялардың графигін салайық: y = 0,5x және y = √x

Құрылымнан көрініп тұрғандай, функция графиктері екі нүктеде қиылысады:

(0; 0) және (4; 2).

Бізді тек x координатасы қызықтырады.

Бұл √x – 0,5x = 0 теңдеуінің екі түбірі бар екенін білдіреді: x 1 = 0 және x 2 = 4.

Жауабы: x=0; x=4

Квадрат теңсіздіктерді графикалық жолмен шешу.

Бұл тақырыпты оқулықта оқығанда бізге жақсы таныс әдіс.

Мен теңсіздікті келесі түрде қайта жазуды ұсынамын: x^2-4>3x.

Теңсіздіктің сол және оң жақтарынан функциялардың графиктерін тұрғызайық.