Үшбұрыштардың ұқсастық және теңдік белгілері

Семей қаласының «Шәкәрім атындағы университеті» КеАқ

Авторлары: Г.С.Заманбекова, Т.Т.Абдығали

Ғылыми жетекші: Сагитова Ш.Г.

Мектеп геометриясындағы үшбұрыштардың ұқсастық және теңдік белгілерінің қолданысы

Мақалада мектептегі геометрия курсындағы үшбұрыштар бөлімінің бағдарламасы айтылады. Мақала басында геометрия курсына жалпылама сипаттама берілген. Сонымен қатар, үшбұрышқа анықтама беріп, оның түрлері мен қасиеттеріне тоқталдық. Үшбұрыштың теңдік және ұқсастық белгілеріне арналған теоремаларға дәлелдемелер жүргіздік. Сонымен қатар, әр белгіге жеке тоқталып, әрқайсысына мысалдар келтірдік. Есептерді шығару барысында ұқсастық және теңдік белгілерін дұрыс қолдануды көрсеттік. Қорытындыда келтірген мысалдардың қолданыстағы маңызы туралы айтылады. Қандай салаларда үшбұрыштың белгілері қолданылатыны жайлы сөз қозғалды.

Түйін сөздер: геометрия, үшбұрыш, теңдік белгі, ұқсастық, қолданыс.

Геометрия – қоршаған ортаны зерттеуде, ой – өрісімізді, кеңістікте елестету дағдымызды дамытуда маңызы зор сала. Геометрия курсының бағыты – кеңістіктегі және жазықтықтағы фигуралар мен олардың қасиеттеріне талдау жасап, оларды мектеп оқушыларының бойына дарыту. Осы бағыт жүзеге асу үшін геометриялық фигураларды зерттеп, оның қасиеттеріне және ерекше белгілеріне мән берген дұрыс деп ойлаймыз.

Жалпы, геометрия курсы екі бөлімнен тұрады: планиметрия және стереометрия. Біздің мақаладағы тақырыбымыз 7-9 сыныптарындағы планиметрия курсына арналған.

Геометриялық фигуралардың ішінде үшбұрыштарды маңызды ұғымдардың қатарына жатқызамыз. Себебі, үшбұрыштарды күнделікті өмірдегі қолданыста да, архитектура саласында да, медицина салаларында қолданамыз. Үшбұрышты геометрия оқулықтарында көпбұрыштың дербес жағдайы ретінде қарастырады [1].

Үшбұрыш – ең қарапайым фигура. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктені қосатын кесінділермен шектелген жазықтықтың бөлігі – үшбұрыш деп аталады. Оқушылар үшбұрыш – үш нүктеден, үш қабырғадан және үш бұрыштан ғана тұратын фигура екенін бастауыш сыныптан біледі.

Үшбұрыштың теңдік белгілерін ажырата білу үшін, үшбұрыштың түрлерімен таныс болу міндетті. Бұл фигураның бес түрі бар:

Теңқабырғалы үшбұрыш

Теңбүйірлі үшбұрыш

Тікбұрышты үшбұрыш

Сүйірбұрышты үшбұрыш

Доғалбұрышты үшбұрыш

Үшбұрыштартардың бірнеше қасиеттері бар, соның ішінде ұқсастық қасиетіне тоқталсақ. Ұқсас үшбұрыштар - сәйкес бұрыштары тең және сәйкес қабырғалары пропорционал үшбұрыштар. Осындай үшбұрыштардың мағынасын түсіну көптеген есептерді, мәселелерді шешу үшін өте маңызды дағды болып табылады. Осы білімнің арқасында біз үшбұрыштардың қабырғалары арасындағы пропорционалдық қатынастарды таба аламыз, сонымен қатар бұрыштардың мәндерін тани аламыз. Бұл өз кезегінде геометрия мен физикаға байланысты әртүрлі практикалық есептерді шешуге көмектеседі. Сондай-ақ, мұндай үшбұрыштардың мағынасын білу сәулет пен құрылыста – әртүрлі объектілердің пропорциялары мен өлшемдерін анықтауға көмектеседі. Сонымен қатар, үшбұрыштардың ұқсастығын түсіну пішінді бұзбай, олардың өлшемін үлкейтетін немесе азайта отырып, ұқсас фигураларды салуға мүмкіндік береді. Бұл графикалық дизайнда, модель жасауда және басқа да көптеген салаларда қолданбаларға ие.

Ұқсас үшбұрыштардың қасиеттері.

Ұқсас үшбұрыштар олардың ұқсастығын анықтауға және есептерді шешу үшін пайдалануға мүмкіндік беретін бірқатар негізгі қасиеттерге ие:

Ұқсас үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең.

Ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының ұзындықтары пропорционал.

Ұқсас үшбұрыштардың қабырғаларының ұзындықтары мен биіктіктерінің қатынасы тең [2].

Осы қасиеттерді біле отырып, ұқсас үшбұрыштардағы белгісіз шамаларды табу үшін Пифагор теоремасын, қабырғалардың пропорционалдылық теоремасын және басқа да математикалық құралдарды қолдануға болады.

Үшбұрыштардың ұқсастығын білу және түсіну кеңістіктік объектілерді және олардың байланыстарын талдау қажет болатын әртүрлі салалардағы мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мұндай үшбұрыштар белгісіз параметрлерді есептеуге және әртүрлі математикалық есептерді шешуге арналған қуатты құрал болып табылады.

Үшбұрыштың теңдік белгілері.

Теорема (I белгі). Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы сәйкесінше екінші үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады. [2]

Дәлелденуі: AB = , AC = болатындай ABC және үшбұрыштары берілген. Енді, екі үшбұрыштың теңдігін дәлелдейік.

болғандықтан, төбесі төбесімен, ал және қабырғалары сәйкес AB және AC сәулелерінде жататындай етіп, бұрышын CAB бұрышына беттестіруге болады. Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың бар болатыны жөніндегі 8- аксиома бойынша мұндай үйлестіру мүмкін және бір ғана түрде анықталады. Ал AB = , AC = болғандықтан, қабырғасы AB қабырғасымен және қабырғасы AC қабырғасымен беттеседі. Олай болса, және ABC үшбұрыштары толық беттеседі. Онда бұл үшбұрыштар өзара тең. Теорема дәлелденді [5].

Теорема (II белгі). Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары сәйкесінше екінші үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштарына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады [2].