Анықтауыштың қасиеттері бойынша алгебра конспектісі

Анықтауыштың қасиеттері

1 - қасиет. Анықтауыштың жатық (тiк) жолдарын оның сәйкес тiк (жатық) жолдарымен орын алмастырсақ, онда оның мәнi өзгермейдi.

Дәлелдеу үшiн = 1 теңдiгiн дәлелдесек жеткiлiктi, мұндағы 1 берiлген анықтауышының 1 – жатық жолы 1 – тiк жолымен, 2 – жатық жолы 2 – тiк жолымен және, ең соңында, n – жатық жолы n – тiк жолымен орын алмастырылып алынған анықтауыш, яғни:

Ол үшiн - анықтауышының есептелуiндегi жалпы мүшесiн қарастырайық:

(1.3) жалпы мүшесi 1 анықтауышының да мүшесi. Осы сияқты 1 анықтауышының кез келген мүшесi анықтауышының да мүшесi болады. Егер (1.3) мүше анықтауышының , += [ i1i2… in] + [ j1j2… jn] таңбасымен алынған мүшесi болса, онда ол (-1)+ таңбасымен алынған 1 анықтауышының да мүшесi болады. Осыдан және += + болғандықтан, =1.

Мысалы, екiншi реттi анықтауыштарды қарастырайық:

яғни =1.

2-қасиет. Анықтауыштың кез келген екi жатық (тiк) жолдарының сәйкес элементтерiнiң орнын алмастырсақ, онда оның таңбасы қарама қарсы таңбаға өзгередi.

Анықтауыштың анықтамасы бойынша:

анықтауыштың және жатық жолдарының орындарын алмастырып, 1 анықтауышын аламыз.

Бұл анықтауыштардың кез келген мүшелерi бiр бiрiмен тең:

Екiншi индекстерiнен құрастырылған және 1 анықтауыштарының кез келген мүшелерiнiң алмастыруларын қарастырайық:

мұндағы екiншi алмастыру бiр транспозиция жасау нәтижесiнде бiрiншi алмастырудан алынған. Олай болса, оның жұптылығы қарама-қарсы таңбаға өзгертiледi, яғни және сандарының жұптылығы әртүрлi. Ендеше анықтауыштарының да кез келген мүшелерiнiң таңбалары бiр-бiрiмен қарама-қарсы. Сондықтан да, 1-.

Мысалы,

3-қасиет. Анықтауыштың екi жатық (тiк) жолдарының барлық сәйкес элементтерi тең болса, онда оның мәнi нөлге тең.

Берiлген анықтауыштың сәйкес элементтерi тең екi жатық жолдарының орнын алмастырсақ, онда анықтауыштың 2-қасиетi бойынша: -. Бұдан 20, яғни 0.

Мысалы,

4-қасиет. Анықтауыштың кез келген жатық (тiк) жолының барлық элементтерiн санына көбейтсек, онда оның мәнi осы санға көбейтiледi. Берiлген анықтауыштың жатық жолын санына көбейтiп, 1 анықтауышын аламыз:

Дәлелдеу керек . Анықтауыштың анықтамасы бойынша:

Мысалы,

5-қасиет. Анықтауыштың екi жатық (тiк) жолдарының сәйкес элементтерi пропорционал болса, онда оның мәнi нөлге тең.