Функцияның қасиеттері және кері функция 10 сынып жоспары

№7 Тақырыбы: Функцияның монотонды, жұп, тақ, периодты болуы. Кері функция

Атыханов Талғат Атыханұлы (асты сызылған курсив сөздердердің орнында оқушы дәптерінде бос орын қалдырылады)

Оң жақ бағандағы тапсырмаларды құрастырушы мұғалімдердің есіне:

І кезең. Мұғалім алғашқы 7-10 минутта: а) ұйымдастыру сәтін өткізеді; б) өткен тақырып бойынша берілген деңгейлік тапсырмаларды үйде аяқтап орындап келу дәрежесі тексеріледі; в) төмендегі «Көпір» тапсырмаларын тексереді (алдымен жеке тексеріп шығады, сосын фронталды тексереді). «Көпір» (жеке жұмыс) тапсырмалары өткен тақырыптар бойынша жаңа сабақты меңгеруге негіз болатын қайталау тапсырмалары

Сұрақтаға жауап бер.

1. Симметриялы жиындарға мысал келтіріңдер.

(–а;а), [–2;+2], (–∞;+∞) сан түзуіндегі симметриялы жиындар. 2. Қандай жиындар симметриялы жиындар деп аталады?

Егер Х жиынында оның кез келген х элементімен қатар –х элементі де бар болса,онда бұл жиын симметриялы деп аталады. 3. Функцияға анықтама бер.

Х жиынындағы х–тің әрбір мәніне Y жиынының нақты бір у мәнін сәйкес қоятын ереже немесе заңдылық функция деп аталады. 4. Функцияның анықталу облысына және мәндер жиынына анықтама бер. Функция тиянақты мән қабылдайтын тәуелсіз айнымалының нақты мәндер жиынын функцияның анықталу облысы (D), ал анықталу облысынан алынған әрбір тәуелсіз айнымалыға сәйкес табылған функцияның мәндерін оның мәндер жиыны (Е) деп атайды.

Х жиыны–функцияның анықталу облысы, Y жиыныны– функцияның мәндер жиыны болады. ІІ кезең (топтық жұмыс) жаңа сабақты топтық жұмыс барысында оқушылардың өз бетімен меңгеруіне жағдай жасау: а) оқушылар төмендегі «Білу», «Түсіну», «Талдау», «Жинақтау» тәсілдеріне сәйкес тапсырмаларын өздері толтырады (20 минут); ә) жауаптарын мұғаліммен бірге талдайды (25 минут). Нәтижесі ауызша марапатталады 1-қадам (топтық жұмыс) - теория бойынша «Білу» критерийінің индикаторлары: (тақырып мазмұны бойынша кім?не? қандай? қалай?нені? қашан?не істеді сияқты сұрақтарға жауап беретін толық ақпарат іріктеліну керек)

1. Егер у=f(x) функцияның анықталу облысы симметриялы жиын болып, кез келген х

аргументі үшін f(–x)= f(x) теңдігі орындалса функция жұп, ал f(–x)= –f(x) теңдігі орындалса, функция тақ деп аталады. 2. Егер у=f(x) функциясы үшін Т≠0 саны табылып және анықталу облысынан алынған кез

келген х үшін f(x+Т)=f(x) теңдігі орындалса, онда ол периодты функция деп аталады.Т≠0 санын функцияның периоды деп атайды. 3. Анықталу облысының қайсыбір аралықтарында функция тек оң мәндерді (оның

графигі Ох осінің жоғарғы жағында орналасқан), ал басқа аралықтарында теріс мәндерді (график Ох осінің төменгі жағында орналасқан) қабылдаса, онда мұндай аралықтарды функцияның таңба тұрақтылық аралықтары деп атайды. 2-қадам (топтық жұмыс) - теория бойынша «Түсіну» критерийінің индикаторлары: (неге? неліктен? себебі? не үшін?сұрақтары оқушының жоғарыда берген жауаптарына оларды тереңдету үшін қойылады)

Жұп және тақ функциялардың графиктерінің қасиетін қолдансақ, келесі қортындыға келеміз: (6 – сызба)  график ОУ осіне қарағанда симметриялы болса, онда функция – жұп;  график координаталар бас нүктесіне қарағанда симметриялы болса, онда функция –

тақ;  графикте симметриялық жоқ болса, онда функция – жұпта, тақта болмайды.

а) ә) б) 6 – сызба 3-қадам-(топтық жұмыс) теория бойынша «Талдау» критерийінің индикаторлары: 1.Салыстыр, 2. Айырмашылығы неде? 3. Ұқсастығы неде? 4.Тақырыптың басты идеясын жаз деген тапсырмалар болу керек. Немесе 1-3 тапсырмаларды Венн диаграммасы арқылы қамтуға болады.

Периодты функция үшін келесі қасиет орындалады: у=f(x) функциясының периоды Т≠0 санына тең болса, онда n·Т (n кез келген бүтін сан) саны да берілген функция үшін период болады. Берілген қасиет бойынша тригонометриялық функциялар үшін келесі теңдіктер орындалады:  sin(x+2πn)=sinx, n Z;  cos(x+2πn)=cosx, n Z;  tg(x+πn)=tgx, n Z;  ctg(x+πn)=ctgx, n Z.

Кез келген периодты функциясының периоды келесі қасиетпен анықталады: егер у=f(x) функциясы периодты және оның периоды Т санына тең болса, онда у=kf(ax+b)

(k, a≠0 және b – тұрақтылар) функциясыда периодты және оның периоды

| | санына тең.

 Егер у=f(x) функциясының анықталу облысындағы кез келген сандары үшін

теңсіздігі орындалса, онда функция өспелі, ал теңсіздігі орындалса, онда функция кемімелі функция деп аталады.  Егер у=f(x) функциясының анықталу облысындағы кез келген сандары үшін

теңсіздігі орындалса, онда функция кемімейтін, ал теңсіздігі орындалса, онда функция өспейтін функция деп аталады.

4-қадам-(топтық жұмыс) теория бойынша «Жинақтау» критерийінің индикаторлары: Қорытынды шығар, анықтама бер, мазмұнды жүйеле, кестені, тірек сызбаны немесе сөзжұмбақты толтыр, немесе өзің құрастыр тағы с.с. басқа түрдегі тапсырмалар оқушының жоғарыдағы «тақырыптың басты идеясына» жазған жауабына қойылады

Анықтама. Өзінің әрбір мәнін анықталу облысының бір ғана нүктесінде қабылдайтын функцияны қайтымды функция деп атайды. Сонымен, k≠0 болғанда f(x)=kx+b функциясы қайтымды, ал f(x)=х2 функциясы (бүкіл сандық түзуде анықталған) қайтымды функция емес. Анықтама. f: D⇨ E функциясы x1 ≠ x2 мәндеріне f(x1)≠ f(x2) шарты орындалатындай мәндерді сәйкестендіретін функция болсын, яғни функцияның әрбір мәні тек қана бір нүктеде қабылданады, онда әрбір y E санына f(x)=y болатындай белгілі бір xy D саны сәйкес қойылуы мүмкін. Осылай анықталған жаңа f -1: E⇨ D функция берілген f функциясына кері функция деп аталады. Жоғарыда көрсетілгендей, f(x)=kx+b (k≠0) функциясына кері функция

болмақ.

Егер қайтымды функцияның графигі берілген болса, онда f – ке кері g функциясының графигін салу оңай, ол үшін мынадай тұжырымды пайдалану қажет.

f функцияның және оған кері g функцияның графиктері у = х түзуіне қатысты симметриялы болады. f функцияның графигіне қарай отырып f – ке кері g функциясының кез келген а нүктесіндегі мәнін табуға болады. Ол үшін координатасы а–ға тең нүктені горизонталь ось бойынан емес (әдетте соның бойынан табады), вертикаль осьтің бойынан берілуі керек (8, а – сызба)

а) ә) 8 – сызба Функцияның анықтамасынан g(а) мәні b –ге тең болып шығады.

Сонымен, егер әдеттегіден өзгелеу координаталар жүйесі таңдап алынған болса (аргумент – вертикаль оське,ал функцияның мәндері горизонталь оське өлшеп салынады), онда f – ке кері g функциясының графигі дегеніміз – сол f функциясының графигі. g–нің графигін үйреншікті координаталар жүйесінде кескіндеу үшін, f –тің графигін у = х түзуіне қатысты бейнелеу керек.

Егер g функциясы f функциясына кері болса, онда g функциясы қайтымды және f функциясы оған кері болады. Сондықтан f пен g функциялары өзара кері делінеді.

Егер f функциясы I аралығында өсетін (кемитін) болса, онда ол қайтымды болады. f – ке кері және оның мәндері облысында анықталған g функциясыда өспелі (сәйкесінше кемімелі) болады. Жалпы алғанда f(x) = функциясы кез келген натурал n мәнінде [0;∞) аралығында өседі, сондықтан да оған кері функция бар болады. f(x) = функциясына кері функция √

функциясы.

Оқулықпен жұмыс (5 минут): төмендегі «Қолдану» және оқушының тақырып мазмұнына «Баға беруі» тәсілдеріне сәйкес, яғни рефлексия жасауға, эссе жазуға арналған, практика жүзінде бекіту тапсырмалары орындалады . Нәтижесі ауызша марапатталады.