Матрицалық теңдеулердің қолданбалы аспектілері 11 сынып

Жаңашыл Қазақстан үшін ғылымның

инновациялық даму тенденциялары

және жаңа технологиялары

Матрицалық теңдеулердің қолданбалы аспектілері

Мазмұны

КІРІСПЕ..................................................................................................................3

1Матрицалар теориясының жалпы мәліметтері........5

1.1Сызықты бейнелеулер және матрицалар................................................5

1.2Диагональдық, үшбұрышты матрицалар группасының ерекшеліктері..9

1.3Сызықтық тәуелділік индикаторлары.......................................................12

2Матрицалар теориясының кейбір қолданысы.........18

2.1Матрицалық теңдеулер және олардың механикада қолданысы.............18

2.2Канондық жіктеулердің қолданбалылығы................................................22

Қорытынды....................................................................................................35

Пайдаланылған әдебиеттер ТІЗІМІ...............................................36

Кіріспе

Білімді кредиттік технология негізінде жаратылыстану бағытындағы болашақ математика бакалаврларын дайындау мәселесі қазіргі таңда Қазақстан Республикасы президенті өкіметі және ЖОО-ның алдында тұрған ауқымды мәселердің ең маңыздысы болып табылады. Әлеуметтік өмірге және жұмыс берушінің талаптарына сай білікті мамандарды дайындау, оқыту әдістерінің көптеген түрлерін меңгерген, қоршаған ортаны жеткілікті деңгейде зерттей алатын мамандардың сапасыменен белгіленеді.

ЖОО болашақ математика мамандығы мұғалімдерін дайындауда көптеген абстракті пәндерді оқыту жоспарланған. Заманауи ақпараттық және коммуникациялық технологиялардың дамуы абстрактіліктен қолданбалыққа өтуді талап етеді. Мысалы, аналитикалық түрде берілген бір мәнді анықталған функцияларды зерттеу, бір мәнді анықталмаған функцияларды зерттеуге қарағанда біршама тиімділеу. Осыған сәйкес, неге параметрик түрде берілген функцияларды, поляр немесе цилиндрлік координаталарда берілген функцияларды зерттейміз? деген сұрақтың туындауы табиғи. Бұл сұраққа оң жауапты параметрик немесе поляр координаталарында бейімделген құбылыстарды зерттеу барысында табу мүмкін.

Бұл сияқты мәселелер матрицалар теориясында да орынды болады. Матрицалар теориясының элементтері бізді қоршаған ортаның көптеген бағыттарында жиі кездеседі. Мысалы, экономикада жоспарлау мәселелері, механика есептеріндегі денеге әсер етуші күштердің жиыны, кванттық механикадағы зарядқа әсер етуші күштердің тысқы денелер әсерінде сипатталуы т.б. есептерде кеңінен қолданылады. Композицион материалдарда негізгі элементтер (композицион қабаттар) структурасы жағынан матрицаның элементтері сияқты сипатталады. Күнделікті қолданыста болған фото суреттерде интегралдық микро схемалар (аналогты немесе сандық-аналогты) фотодиодтардан құрастырылған болады. Жарыққа сезімділік элементтері матрицаларменен өрнектеледі [1].

Жоғарғы білікті мамандардың қолданбалы есептерді зерттеу мәселелерімен кеңінен таныстыру қазіргі таңда маман дайындаушы оқу орындарының негізгі мәселесі болып табылады. Сондықтан кез - келген математикалық туынды, теорияны қолданбалы аспектілерін зерттеу зерттелінді жұмысымыздың көкейкестілігін көрсетеді.

Жұмыстың мақсаты: Болашақ математика мұғалімдерінің жалпы математикалық білімділігінің ең негізгі бөлімдерінің бірі болған матрицалар теориясының қолданбалы бағытын зерттеу.

Жұмыстың зерттеу объектісі: Болашақ математика мұғалімдерін дайындауда сызықты алгебралық және аналитикалық геометрия пәнінің қолданбалы аспектілері.

Жұмыстың зерттеу мәселесі: алгебралық теңдеулер жүйесі, анықтауыштар және олардың механикада қолданысы.

Жұмыстың құрылымы: Жұмыс кіріспеден, 2 тараудан және қорытындыдан тұрады. Бірінші тарауда матрица теориясының жалпы мәліметтері болып табылатын сызықты бейнелеулер және матрицалар, диогнальдық, үшбұрышты матрицалар группасының ерекшеліктері, сызықтық тәуелділік индикаторлары мен блокты –үшбұрышты матрицалар туралы, екінші тарауда матрицалар теориясының кейбір қолданыстары, яғни матрицалық теңдеулер және олардың механикада қолданысы, конондық жіктеулердің қолданбалылығы, унитар матрицалар және олардың қолданысы туралы мағлұматтар беріліп, мысалдар арқылы көрсетілген.

1 Матрицалар теориясының жалпы мәліметтері

1.1 Сызықтық бейнелеулер және матрицалар

Матрица - өрістің немесе сақинаның элементтерін тікбұрышты кестелер түрінде жазылған математикалық объект (мысалы, бүтін немесе комплекс сандар) ретінде қарастырылып бағанменен қатардың қиылысуында тұрақты матрица элементі қатысады. Бағанменен қатардың саны матрицаның өлшемін анықтайды [2].

Матрица ұғымы алғашқы рет Қытай мемлекетінің еңбектерінде келтірілген болып, «Ғажайып квадраттар» деп аталған. Ол кездегі матрицалар сызықты теңдеулер жүйесін шешімін табуда қолданылған. Қытайлық зерттеушілердің еңбектерін толықтыра отырып араб математиктерінде ғажайып квадраттар матрицаларды қосу амалын табу арқылы, кейбір қолданбалы есептерді шығаруда кездеседі. 17 - ғасырда анықтауыштар теориясы жаратылғаннан соң, 1751 жылы Г. Крамер өзінің «Крамер ережесін» жариялайды. Дәл осы уақыттарда Гаусс әдісі т.б. әдістер пайда бола бастады. Ғылымда «матрица» терминін 1850 жылы Дж. Сильвестр тарапынан еңгізілген [3].

Математикада және басқа да ғылым салаларында бір шаманың басқа шамаларға тәуелділігі зерттеледі (жиі қарастырылады). Әдетте тәуелділік әр түрлі түрдегі функциялармен (бейнелеулермен, операторлармен) сипатталады. Қарапайым жағдай – сызықтық бейнелеулер болып табылады.

Айталық айнымалыларын айнымалылары арқылы төмендегідей берілсін:

мұндағы коэффициенттер берілген тұрақты шамалар деп есептеледі. Барлық тұрақты коэффициенттерді тік бұрышты кестеге жинап, оны әрпімен белгілейік; сондай – ақ, және шамаларынан баған – кестелерін құрайық:

Мұндай кестелер матрица деп аталады. Бұл жерде біз үш түрлі матрицаны көре аламыз: , , өлшемді. тің ке тәуелділігін сипаттайтын (1.1.1.) қатынасын символдық түрде төмендегідей жазамыз:

Егер болса, онда матрица квадратты матрица деп аталады. өлшемді квадрат матрицаны сондай – ақ, ретті матрица деп аталады.

Матрицаларды көбейту

Айталық айнымалылары арқылы өрнектелсін және сонымен қатар, айнымалылары арқылы былай өрнектелсін:

айнымалылары арқылы дәл осылайша анықталады. Осы тәуелділіктің тұрақты коэффициенттерінен құралған матрицаны арқылы белгілейік. Сонда , және матрицасының коэффициенттерін алу үшін арқылы өрнектелген өрнегін айнымалылары арқылы өрнектелген анықтайтын формулаға қою керек. Сонда мынаны аламыз:

мұндағы (1.1.3)

Анықтама: (1.1.3) түрдегі матрицасын және матрицаларының көбейтіндісі деп атайды және деп белгілейді [4].

Салдар 1.1.1.

Әдетте матрицаларды көбейту «жолды бағанға» көбейту ережесімен анықталады деп айтылады. Бірінші көбейткіштегі бағандардың саны екіншінің жол санымен сәйкес келуі керек. Егер біз деп жазатын болсақ, онда біз бірден және матрицалары кез - келген емес деп ұғуымыз керек.

Матрицаларды көбейтудің ассоциативтілігі

Теорема 1.1.1. .

Дәлелдеуі. Айталық , , өлшемді матрицалар болсын. Онда

Матрицаларды көбейтудің коммутативті еместілігі

Жалпы жағдайда , - типті квадрат матрицалар үшін де.

Мысалы 1.1.1.

Матрицаларды қосу және санға көбейту

және матрицаларының қосындысы деп матрицасын айтады, егер барлық үшін болса.

, және матрицаларының өлшемдері бірдей болады. Матрицаларды қосу амалы үшін төмендегі қасиеттер орындалады:

(ассоциативтілік),

(коммутативтілік).

Егер –қандай да бір сан болса, онда матрицасы элементтері бар осындай өлшемді матрица түрінде анықталады.

Блокты матрицаларды көбейту

Айталық және матрицалары және блоктарынан құралсын:

мұндағы өлшемді. Онда көбейтіндісі бар және оны блокты-матрицаларды қосу және көбейту амалдарын қолданып есептеуге болады:

мұндағы

Блокты матрицаларды көбейту «блокты жолды блокты бағанға» көбейту ережесі бойынша анықталады деп айтуға болады. Блокты көбейтудің қандай пайдасы болатындығын төменде көреміз.

Матрицаларды көбейтудің есептеуіш аспектісі

Айталық өлшемді және матрицалары берілсін және олардың көбейтіндісін есептеу керек болсын. Бұны есептеудің классикалық алгоритмі мынадай структурада анықталады (Фортран алгоритмдік тіліне ұқсас):

Алайда алдымен элементтерін нөлге айналдырып алу керек [6].

Виноградов әдісі

Классикалық алгоритмді қолданбай матрицаларды көбейткен алғашқылардың бірі (өткен ғасырдың 60-жылдары) Виноград болды. Ол келесі тепе теңдікті қолдануға болатынын көрсетті:

Айталық болсын. Барлық , үшін екінші және үшінші қосындыны көбейту және қосу амалы арқылы табуға болады. Бірінші қосынды үшін көбейту және қосу амалы қажет. Нәтижесінде – бұрынғыдай, амал орындалады, бірақ мұнда енді көбейту және қосу амалын орындау қажет. Көбейту амалы қосуға қарағанда күрделі амал болғандықтан Виноградов әдісінің практикалық маңызы бар.

Штрассен әдісі

1965 жылы Штрассен өлшемді матрицаны тек қана 7 көбейтіндінің көмегімен көбейтуді анықтады (классикалық әдісте – 8 көбейтінді қолданылады). Штрассеннің ойлап тапқаны «көп өлшемді матрицалардың» тензорлық рангын есептеу көмегімен алынады.

өлшемді матрицалар үшін рекурсия

7 көбейтіндінің көмегімен есептелетін өлшемді матрицаларды көбейтуден аспайтын амалды қажет ететін өлшемді матрицаларды көбейту әдісіне көшу оңай. ұмтылғанда ұмтылғандықтан, Штрассен әдісі классикалық әдістен асимптотикалық жақсырақ болып табылады [7].

Айталық болсын және мен матрицаларын өлшемді блокты матрица түрінде қарастырайық:

Штрассен әдісінде өлшемді матрицаларды көбейткенде коммутативтілік қолданылмайды. Сондықтан да бұл әдіс өлшемді блокты матрицаларды көбейту үшін де қолданылады.

Сонымен, өлшемді есеп дәл осындай жеті өлшемді есепке келтіріледі. Бұл 7 есепті құру үшін және осы 7 есепті шешкеннен кейін қорытынды нәтижені алу үшін ретті блоктарды 18 рет қосу қажет.

Көрсетілген рекурсияны аяғына дейін «бұрмаласақ», соңғы кезеңде көбейтуді аламыз. Барлық кезеңдегі қосудың жалпы саны

құрайды (мұнда және екендігін ескеру қажет).

Қазіргі кезде Штрассен әдісінен де аса жылдам әдістер ойлап табылған [8].

1.2 Диагоналдық, үшбұрышты матрицалар группасының ерекшеліктері

Бейнелеулер, функциялар, операторлар

Бейнелеу, функция, оператор сөздерінің бәрінің мағынасы бір – яғни жиынының әрбір элементіне оған бірмәнді анықталған жиынына тиісті элементі сәйкес қойылады. Бұл ереженің берілуі бейнелеудің (функцияның, оператордың) графигі деп аталатын

ішкі жиынын таңдап алуға тепе-тең.

элементі элементінің бейнесі деп, ал - элементінің бейнелеуіндегі түп бейнесі деп аталады [9].

– -ті -ке бейнелейді дегенді былай жазады: .

қандай да бір үшін жиыны бейнелеуінің бейнесі (мәндер жиыны) деп аталады.

Егер болса, онда жиыны жиының толық түп бейнесі деп аталады.

Егер болса, онда .

бейнелеуі қайтымды деп аталады, егер және болатындай бейнелеуі бар болатын

болса.

Сонымен қатар, -ді ке кері бейнелеу деп атайды және оны деп жазады.

Егер кез келген үшін толық түп бейне тек бір ғана элементтен құралса, онда бейнелеуі өзара – бірмәнді деп аталады.

Алгебралық амалдар

бейнелеуі қа алгебралық амал деп аталады. Айталық мұндай амалды белгілеу үшін символы қолданылсын. Онда жазбасы және дегенді білдіреді.

Егер бос емес ішкі жиында бейнелеуі берілсе, онда ті ке бөліктей алгебралық амалдар деп аталады. Дербес жағдайда мұндай амалдарға матрицаларды барлық матрицалар жиынына көбейту амалы жатады [10].

Ассоциативтілік және жақшалар

Егер кез – келген үшін және көбейтінділерінің бар болуынан , көбейтінділері және теңдігінің бар болатындығы шығатын болса, онда -ке бөліктей алгебралық амалдар ассоциативті деп аталады. Бұл жағдайда жақшаларды алып тастап, былай жазуға болады:

Теорема 1.2.1. Айталық -та ассоциативті бөліктей алгебралық амалдар берілсін және кез - келген элементтері үшін көбейтінділері бар болсын. Онда

элементін анықтайтын жақшалардың қойылуы бар болады, сонымен қатар жақшаларды кез – келген етіп қойған жағдайда сол бір ғана элементін береді.

Дәлелдеуі. бойынша индукцияны қолданайық. Алдымен - ті анықтайтын қандай да бір жақшаның қойылуының бар болатындығын дәлелдейік. Индуктивті ұйғарым бойынша, көбейтінді бар болады. Теореманың шарты бойынша, сондай-ақ, көбейтіндісі де бар болады. Осылайша, , элементтеріне қатысты ассоциативтіліктің анықтамасын қолдануға болады.

Айталық және элементтері жақшалар әр түрлі қойылған жағдайда алынсын. Сонда да мынаны аламыз:

Айталық болсын. Онда ассоциативтіліктің анықтамасының негізінде былай болады:

Матрицаларды көбейтудегі ассоциативтілік

Айталық , және өлшемді үш тікбұрышты матрицалардың көбейтіндісін есептеу керек болсын:

Берілген жағдайда жақшаларды қоюдың екі нұсқасы бар:

(1.2.1) мен (1.2.2) нұсқалар матрицасын екі әртүрлі есептеу алгоритміне әкеледі. Ассоциативтіліктің негізінде нәтижелер бірдей болуы керек.

Группалар:

Ассоциативті алгебралық амалдар анықталған құр емес жиыны группа деп аталады, егер

болатындай кез - келген элементі үшін элементі бар болады;

болатындай кез - келген элементі үшін элементі бар болады.

элементі (1) қасиет бойынша бірмәнді анықталады: егер және – екі осындай элемент болса, онда болады. элементі элементіне кері деп аталады және оны деп белгілейді.

Группа абельдік (коммуттативті) деп аталады, егер барлық үшін болатын болса.