Олимпиада есептері математика пәнінен тапсырмалар

Шығыс Қазақстан облысы,

Бородулиха ауданы, Зубаир орта мектебінің математика пәні мұғалімі Амангелді Садықов

Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі

2015 – 2016 оқу жылы

2015 – 2016 оқу жылындағы Республикалық олимпиаданың ІІ кезеңіндегі ұсынылған кейбір тапсырмаларға тоқталайық.

10 сынып

І тур

3 – есеп. Қабырғасы 1 – ге тең АВСД шаршысына сырттай сызылған шеңбердің ВС доғасынан М нүктесі алынған. АМ және ВД кесінділері Р нүктесінде, ал ДМ және АС кесінділері Q нүктесінде қиылысады. АРQД төртбұрырышының ауданын табыңыз.

Шешуі: М нүктесі ВС доғасының ортасы болсын делік. Онда ВМ = СМ, ∠ВДМ = ∠СДМ, яғни ДМ ВДС бұрышының биссектрисасы болады.

∆ДОС-дан = = ОС - болғандықтан = ⟹М

М

С

В

OP = OQ

Q

Р

О

В

А

Жауабы:

10 сынып

ІІ тур

4 – есеп. Теріс емес x,y сандары x + y ≤1 теңсізігін қанағаттандырады.

8xy ≤ 5x(1 – x ) + 5y( 1 – y ) теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?

Дәлелдеуі: ≤ 1 ⟹ + 2xy + ≤ 1 ендеше,

+ 8xy + ≤ 4⟹ 8xy ≤ 4 – 4(+) немесе 8xy ≤ 4(1– (+)) демек, 8xy < 5(1– (+)), x + y ≤ 1 болғандықтан, 8xy ≤ 5, яғни 8xy ≤ 5x(1 – x) + 5y(1 – y)

x = 1, y = 0 және x = 0, y = 1 болғанда теңдік орындалады.

11 сынып

І тур

1 – есеп. Кез – келген a,m,c,d бүтін сандары үшін

a,b,c,d() () () () () () санының

7 – ге бөлінетінін дәлелдеңіз.

Дәлелдеуі: 1) P = mn + r, q =mR + r болсын.

Мұндағы P,m,q,R,r бүтін оң сандар

= m2n2 + 2mnr + r2

q2 = m2R2 + 2mRr + r2

P2 – q2 = m(mn2 + 2nr – mR2 – 2Rr) яғни, P2 – q2 саны m санына қалдықсыз бөлінеді.

2) l =mc + t, u = mb + d және t +d = m делік.

t2 – d2 = (t – d)(t + d) = m(t – R). Бұл жағдайда дa l2 – u2 саны m санына қалдықсыз бөлінеді.

Олай болса, , , және сандарының ең болмағанда біреуі 7 – ге қалдықсыз бөлінеді, өйткені

r = 1,2, 3, 4, 5, 6 , демек қалдық осы сандардың кез – келген төртеуінe тең және t + d = 7 болады немесе a,bc,d сандарына қатысты r – дің мәні қaйталанады, яғни тең қалдықтар…