Оқушыларды тестке дайындау алгебрадан мақала

Оқушыларды тестке дайындаудың кейбір мәселелері.

Қысқаша көбейту формулаларының кейбіріне тоқталайық. Алдымен 5 пен аяқталатын екі таңбалы сандардың квадратын баған түрінде қалай орындалатынын көрсетейік.

Орындалу реті:

1) Оң жақтағы 5 пен 5-ті көбейтіп көбейтіндінің оң жағына 25-ті толық

жазамыз. 2) 1-ді 1-ге қосып, оны 1-ге көбейтеміз де 2-ні 25 санының алдына жазамыз.

Онда көбейтінді 225 санына тең болады. 1-тәсіл: І. Енді кез келген санның квадратын табуға арналған формуланы қорытып шығарайық. a2=a2-b2+b2=(a-b)(a+b)+b2

яғни a2=(a-b)(a+b)+b2 (1)

(1) формуланы екі таңбалы 5-пен аяқталатын сандарға қолданып көрейік. 152=(15-5)(15+5)+52=10 20+25=225 252=(25-5)(25+5)+52=20 30+25=625 352=30 40+25=1225 452=40 50+25=2025 т.т.

352=30 40 25=1225 мысалының геометриялық мағынасын түсіндірейік.

1-суретте көрсетілгендей қабырғалары 30 және 40 бірлікке тең болатын тіктөртбұрыштың ауданына қабырғасы 5 бірлікке тең шаршының ауданын қосқанда шығатын қабырғасы 35 бірлік болатын ізделінді шаршының (квадраттың) ауданы табылатындығын көруге болады. 1- сурет Енді (1) формуланы кез келген санның квадратын табуға қолданып көрейік.

1) (10,3)2=(10,3-0,3)(10,3+0,3)+0,32=10 10,6+0,09=106,09 2) (99,8)2=(99,8+0,2)(99,8-0,2)+0,22=100 99,6+0,04=9960,04 3) 282=(28+2)(28-2)+22=30 26+4=784 немесе 282=(28-8)(28+8)+82=20 36+64=784 4) (19,7)2=(19,7+0,3)(19,7-0,3)+0,32=20 19,4+0,09=388,09

ІІ. 2-тәсіл

(а+1)2=а2+2а+1 а2=(а+1)2-2а-1 а2=(а+1)2-а-а-1 а2=(а+1)2-(а+1)-а. Сонымен, а2=(а+1)2-(а+1)-а (2) (2) формуланы 5-пен аяқталатын екі таңбалы сандарға қолданып көрейік.

152=162-16-15=256-31=225 252=262-26-25=676-51=625 т.т.

Енді (2) формуланы кез келген санның квадратын табуға қолданайық.

1) 192=202-20-19=400-39=361 2) 212=222-22-21=484-43=441 т.т.

ІІІ. (а-в)(а+в) =а2-в2 (3) формуласын қарастырайық. Оның геометриялық мағынасы: Егер кез келген шаршының бір қабырғасын в бірлікке азайтсақ және екінші қабырғасын в бірлікке арттырсақ, онда алынған тіктөртбұрыштың ауданы алғашқы квадратын (шаршының) ауданынан в2 бірлікке кіші болады. Мысалы: 43 37=(40+3)(40-3) =402-32

Бұл мысалдан (а-в)(а+в) =а2-в2 формуласы а2 = (а-в)(а+в) +в2 формуласымен пара-пар болатындығын байқаймыз.

(3) формуланы кері жазайық а2-в2 = (а-в)(а+в) осыған мысалдар қарастырайық:

1) 15,32-5,32=(15,3-5,3)(15,3+5,3) =10 20,6=206 2) 862-142=(86-14)(86+14) =72 100=7200 3) а2-9=(а-3)(а+3), мұнда а›3 болғанда ғана орындалатынын ескерейік. Жоғарыдағы көрсетілген әдістердің қайсысын тиімді әдіс деп (есептеуді) таңдауды оқушылардың (студенттердің) өздеріне қалдыруды жөн көрдім.

№1 өздік жұмыс

І нұсқа ІІ нұсқа

Төмендегі сандардың квадраттарын табыңыздар:

Енді квадрат теңдеу түбірлерінің қасиеттерін квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тақырыбына қолданып көрейік.

Квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар немесе жоқ екенін студенттер (оқушылар) оның дискриминантының таңбасына қарап анықтай алады. Ендігі мақсат – теңдеуді шешпей-ақ оның коэффициенттері бойынша түбірлерінің таңбаларын анықтай білу бейімділігін қалыптастыру. Бұл деректі негіздеу Виет теоремасы арқылы жүзеге асырады.

Сонымен бірге мұнда Виет теоремасы көмегімен квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілі қарастырылады. Өйткені студенттердің (оқушылардың) бұл тақырыптан алған біліктіліктері рационал өрнектерді түрлендіруде және өзге (интервалдар әдісін теңдеулер мен теңсіздіктерге қолданатын т.б.) есептерді шешу барысында кеңінен қолданылады.

Жалпы толық квадрат үшмүшені жіктеу ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), (мұндағы х1 мен х2 – берілген квадрат үшмүшенің түбірлері) формуласы арқылы орындалады.

Жалпы квадрат теңдеуді қарастырайық: