Пирамида тақырыбы бойынша есептер, 10 сынып

Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

SA-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)

V- көлемі

Sт.б-толық бетінің ауданы

Sтаб-табанының ауданы

Sб.б-бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V=Sтаб H

Sт.б= Sб.б+ Sтаб

Дұрыс пирамида үшін: Sб.б=PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р1, Р2-табандарының периметрі

S1, S2-табандарының аудандары

V=H(S1+S2+)

S б.б=(P1+P2) A

Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SH=3 см

AB= 2см

SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ;

OH=

SO2=SH2-OH2

SO==2

Жауабы:2см

№2. Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

ИО=3x, ОН=2x

SКМР=S1; SABC= S2

S1=9y; S2= 25y

VИКМР=ИО* S1=*3x*9у=9 ху

Vқиық пир=ОИ (S1+S2+)=*2x (9y+25y+)= *98 xy

№3 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

AH=2

SA==

Жауабы: см.

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

SH=9 см , SA= 12 см , V=?

НС==3

AC=6

AB2+BC2=252

S=AB2= 126

V=S H

V=*126 *9=378см3Жауабы:378см3

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.

SH=80 cм,

AB=120 cм

SKFNM-?

AC=

AH=60

SA==20

КМ=SA:2=20:2=10

MN=BC=120

MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30

KO==50

SKFNM=4500cм2

№6. Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 1200. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

<AFC=1200

AC2=AB2+BC2

1) ABC

AC==20

2) AFC

FC=(20.):=20

3) FBC

BF==

SC2=SF2+FC2

SC=x,

SF= x-

X2=( x-)2+(20)2

X2=X2-2X+()2+

X=

X=10

SC=10

SK2=SC2-KC2=(10)2-102=200

SK=10

Sб.б=PABCDSK= *80* 10= 400

Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,

AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм

SABC=AB*BC= *4*5=10

V= SABC.SB=*10*6=20 cм3

№ 8 Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 600-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

<SKO=600, SO-?

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12):2=16

S==48

=tg600

r=КО=48:16=3

SO=3cм

№9 Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

AH= r-ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

R=

AS===

AS=L

L2=2RH

R==6,35

№10 Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 600,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 450-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

ABCD-ромб, <A=600 <SKO=450, V-?

Sромб=a2sin 600=142 *=98

AHD

DH = sin600

AD

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, <O=900.

<K=<S=450

V= Sромб SO=*98*=343 cм 2

№11 Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

SA=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC==4

HC=AC:2=4:2=2

SH==1

V=AB2 SH=*16*1=5cм3

№12 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V-?

HC==3

AC=2HC=6

AB2+BC2=AC2

AB2=6:2=3

V=AB2SH=*3*4=4 cм3

№13 Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SA=SB=SC=SD=4 cм,

AB=2, SH-?

AB2+BC2=AC2

AC==2

HC=

SH==cм.

№14 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

Sб.б=2cм,

AB=2cм.

V-?

Sб.б=PABCD.SM,

SM- бүйір жағының апофемасы

SM=2SABCD:P=4:8=

SH=

V= *4*=2 cм3

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?

<SAH=

SASC=S, V-?

=ctg

SH=h

AH=hctg

AC=2hctg

AB2+BC2=AC2

2AB2=(2hctg)2

AB2=2h2ctg2

SASC=AC* SH=*2hctg*h=h2ctg

h=

AB=

SABCD=()2=2Sctg V=2Sctg=

№16 Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. Sб.б-?

SASD=AD SD=*20*21=210

SABS=AB AS=*20*29=290

Sб.б=2 (SASD+ SABS)=(210+290)*2=1000 дм2=10м2

№17 Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,

SA=10cм

SH-?

AH=R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=6

SH=

№18 Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2см арасындағы бұрышы 300-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2cм, <BHC=300

SH=AB, V-?

S=AC* BD *sin300=*4*2*=2 cм2

AB=

V=*2*1=cм3

ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар

12 м, 14 м , 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?