Сфера тақырыбы бойынша геометрия презентациясы

Сфера және шар

С фера мен шардың

қасиеттері

Аманжол С.А.

Анықтама. Жарты шеңбердің өз диаметрінен айналғанда шығатын фигураны сфера деп атайды.

АСВ жарты шеңберін сфераның жасаушысы деп атайды.

А

К

В

О

М

С

Сфераның АСВ жасаушысының әрбір М нүктесі (О 1 , О 1 М) шеңберінде жатады, ал бұл шеңбердің өзі тұтасымен сферада жатады. Осындай шеңберлер параллельдер деп, ал олардың ең үлкені экватор деп аталады.Сфераның әрбір М нүктесі қандай да бір АСВ жарты шеңберінде жатады. Мұндай жарты шеңберлер меридиандар деп аталады .

Анықтама. Жарты дөңгелек өзін шектейтін диаметрден айналғанда шығатын фигураны шар деп атайды.

Шардың беті – сфера, ол сәйкес жарты шеңбердің айналуынан пайда болады. Сфераны басқаша шар беті деп те атайды.

Сфераның екі нүктесін қосатын ML кесіндісі сфераның (шардың) хордасы деп аталады (РР 1 , КN, т.б.).

Сфераның (шардың) центрі арқылы өтетін хорда сфераның (шардың) диаметрі деп аталады (РР 1 , КN).

Р

К

N

L

M

O

Шар мен сфераның

жазықтықпен қимасы

Шар мен сфераны центрлері арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда пайда болатын дөңгелектер мен шеңберлер сәйкесінше үлкен дөңгелектер және үлкен шеңберлер деп аталады.

Теорема. Шарды жазықтықпен қиғанда пайда болатын кез келген қима дөңгелек болады. Бұл дөңгелектің центрі шардың центрінен қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады.

Дәлелдеу:

(О, R ) шары берілген.

Шармен қиылысқан α жазықтығы берілген.

Шардың қимасы центрі О 1 нүктесінде болатын дөңгелек, ОО 1 ┴ α (дәлелдеу керегі).

α жазықтығынан оның штрихталған бөлігінде жататын Х нүктесін аламыз(салу) .

ОХ және О 1 Х кесінділерін жүргіземіз.

∆ ОО 1 Х – тікбұрышты үшбұрыш.

Пифагор теоремасы бойынша ОХ 2 = ОО 1 2 + О 1 Х 2 . ОХ-тің шамасы R-ден үлкен емес, сондықтан О 1 Х ≤ , яғни α жазықтығымен қиғанда алынған шар қимасының кез келген нүктесінен О 1 нүктесіне дейінгі қашықтық - ден артық емес, демек, бұл нүкте центрі О және радиусы болатын дөңгелекте жатады.

O

Теорема. Сфераны жазықтықпен қиғанда пайда болатын кез келген қима шеңбер болады. Бұл шеңбердің центрі сфераның центрінен қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады.

Өз бетінше дәлелдеу

Сфераға (шарға)

жанама жазықтықтар

Анықтама . Шарға (сфераға) жанама жазықтық деп шармен (сферамен) ортақ тек бір ғана нүктесі бар жазықтықты атайды .

Теорема. Шар (сфера) радиусының сыртқы ұшында радиусқа перпендикуляр өтетін жазықтық шарға (сфераға) жанама жазықтық болады.

Дәлелдеу:

(О, R ) сферасы берілген.

Аϵα, А нүктесінде ОА радиусқа перпендикуляр α жазықтығы берілген.

α жазықтығы берілген сфераға жанама жазықтық болады .

α жазықтығының кез келген Х нүктесін аламыз.

О мен А; О мен Х; А мен Х нүктелерін қосайық.

∆ ОАХ тікбұрышты үшбұрышы шықты ОА┴АХ.