Стереометриялық есептерді шешудің координаталық әдісі

СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДЕ КООРДИНАТАЛЫҚ ӘДІСТІ ҚОЛДАНУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК МҮМКІНДІКТЕРІ

«Шәкәрім университеті» КеАҚ, Семей қаласы

Жангалиева А.Т. [email protected]

Андатпа Бұл мақалада стереометрия есептерін шешуде қолданылатын әртүрлі тәсілдер, әсіресе координаталық және векторлық әдістердің ерекшеліктері мен артықшылықтары қарастырылады. Кеңістіктегі геометриялық қатынастарды, мысалы, түзулер мен жазықтықтар арасындағы бұрыштарды табу сияқты күрделі есептерді координаталар әдісі арқылы шешудің тиімді жолдары нақты мысалдармен түсіндіріледі. Жұмыстың басты мақсаты — оқушылардың кеңістіктік ойлау қабілеттерін дамытып, алгоритмдік тәсілдерді меңгеру арқылы стереометриялық есептерді жеңіл әрі жүйелі шешуді үйрету.Кілт сөздер: стереометрия, координаталық әдіс, векторлық есептеулер, геометриялық есептер, кеңістіктік ойлау, бұрыштарды табу, алгоритмдік тәсілдер.

Стереометрия – кеңістіктегі геометриялық фигуралардың қасиеттерін зерттейтін математиканың маңызды бір саласы. Бұл пәндік сала кеңістіктік елестету, логикалық ойлау және дәлелдеу дағдыларын қалыптастырады. Алайда, соңғы жылдардағы білім сапасын саралау нәтижелері оқушылардың стереометриялық есептерді шешуде, әсіресе кеңістіктік бейнелеуде елеулі қиындықтарға тап болатынын көрсетті. Осыған байланысты, оқыту барысында оқушылардың кеңістіктік ойлау қабілетін дамытуға бағытталған тиімді әдістемелік тәсілдерді қарастыру өзекті мәселеге айналуда.

Стереометриялық есептерді шешудің әртүрлі әдістері бар: геометриялық, координаталық, түрлендірулік, векторлық және аналитикалық тәсілдер. Солардың ішінде координаталық әдіс – кеңістіктік есептерді құрылымдық және алгоритмдік жолмен шешуге мүмкіндік беретін қуатты құрал ретінде ерекшеленеді. Бұл әдіс оқушылардың логикалық, аналитикалық және абстрактылы ойлау қабілеттерін бір мезгілде іске қосуға ықпал етеді.

Координаталық әдіс үш өлшемді кеңістіктегі объектілерді (нүкте, түзу, жазықтық) сандық координаталар көмегімен сипаттауға негізделеді. Бұл әдіс аналитикалық геометрияның негізгі элементтерімен байланысты:

үшөлшемді Декарт координаталар жүйесі;

векторлық алгебра (векторлық және скалярлық көбейтінділер, векторлардың арасындағы бұрыш, проекция);

жазықтық пен түзу теңдеулері;

геометриялық шамаларды (қашықтық, бұрыш, аудандар) аналитикалық жолмен табу формулалары.

Аталған аппарат кеңістіктік есептерді формализациялауға және дәл шешуге мүмкіндік береді.

Координаталық әдіс дәстүрлі геометриялық әдіске қарағанда келесі артықшылықтарымен ерекшеленеді:

Кеңістіктік құрылымдарды нақтылауГеометриялық фигураларды координаталар арқылы сипаттау оқушыға кеңістіктегі элементтерді абстракциядан нақты модельге көшіруге мүмкіндік береді. Бұл кеңістіктік ойлаудың дамуына оң әсер етеді.

Есептің құрылымдылығы мен алгоритмизациясыГеометриялық дәлелдеулер мен салулардың орнына формула мен ереже негізіндегі бірізді әрекеттер жүйесі ұсынылады. Бұл тәсіл оқушыларға қиын есептерді біртіндеп және жүйелі шешуге жағдай жасайды.

Қате ықтималдығын азайтуСандық мәндермен жұмыс істеу мен векторлық тәсілдер қателіктердің алдын алуға көмектеседі. Сонымен қатар, есептің дұрыстығын тексеру де жеңілдейді.

Жоғары деңгейлі тапсырмаларға дайындықҰБТ, олимпиадалар және басқа да жоғары деңгейлі білім сайыстарында жиі кездесетін кеңістіктік есептерді шешу үшін координаталық әдіс аса қажет. Ол оқушылардың логикалық және техникалық дайындығын арттырады.

Ақпараттық-компьютерлік технологиялармен интеграцияКоординаталық әдісті қолдану арқылы есептерді геогебра, графикалық калькуляторлар, CAS жүйелері сияқты цифрлық ресурстармен біріктіру оңай жүзеге асады. Бұл білімді цифрландыру үдерісіне сай келеді

Координаталық әдісті мектеп геометриясы курсында жүйелі түрде қолдану үшін келесі бағыттар ұсынылады:

10-сыныптың “Кеңістіктегі перпендикулярлық” тарауында нүкте мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзулердің өзара орналасуын координаталық әдіспен талдауға үйрету;

Практикалық және зерттеушілік тапсырмаларда координаталық модельдерді қолдану арқылы оқушылардың мәселелік ойлауын дамыту;

Көрнекі құралдарды (графикалық модельдер, сызбалар) пайдалану арқылы координаталық тәсіл мен геометриялық бейне арасындағы байланысты түсіндіру;

Интербелсенді бағдарламалар мен цифрлық симуляторлар көмегімен оқушылардың өз бетінше модель құру дағдысын қалыптастыру.

Қазіргі таңда оқушылардың кеңістіктік ойлау қабілетінің жеткіліксіздігі стереометриялық есептердің шешімін табуда қиындық туғызуда. Геометриялық есептерді шешу үшін бірнеше әдістер бар — геометриялық, түрлендіру, координаталық және т.б. Дәстүрлі түрде геометриялық әдіс басым қолданылады, онда дәлелдеулер мен қосымша салулар қажет етіледі. Ал координаталық әдіс көбіне алгоритмдік сипатқа ие болып, есепті құрылымдық түрде шешуге мүмкіндік береді. Бұл әдіс оқушыларға кеңістіктік түсініктерін нақтылауға, сондай-ақ күрделі геометриялық есептерді қарапайым түрде шешуге жол ашады.

Мақалада В.А. Смирнов пен Е.А. Тұяқовтың 10-сыныпқа арналған «Геометрия» оқулығындағы «Кеңістіктегі перпендикулярлық» тарауы негізінде С деңгейіндегі: «Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық», «Кеңістіктегі түзулер арасындағы бұрыш», «Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық» есептері геометриялық және координаталық әдістермен салыстырыла шешіліп, олардың тиімділігі көрсетілді.

1. Түзулер арасындағы бұрышты табу есебі

ABCA1B1C1 дұрыс призманың табаны АВ гипотенузасы 8тең болатын АВС тікбұрышты теңбүйірлі үшбұрыш, Призманың биіктігі 6-ға тең. AC1 және CB1 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.[2]

Шешуі:ABCA1B1C1 үшбұрышты тік призманы саламыз,AC1 және CB1 түзулерін жүргіземіз (1-сурет).

АВС тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы арқылы АС және СВ катеттерін табайық.

Сонда,

Берілгені бойынша,

1-сурет.ABCA1B1C1 үшбұрышты тік призма. 2-сурет. ABCA1B1C1 үшбұрышты тік призма.

АС1 векторын параллель көшіреміз (2-сурет): АС1=СС2= 10.

С1С2В1 тік бұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы арқылы С2В1 табамыз:

СС2В1 үшбұрышын қарастырып, косинустар теоремасын қолданамыз: