Теоремаларды векторлық әдіспен дәлелдеу 9 сынып геометрия

Дәлелдеудің векторлық әдісі

Еліміздің егемендікке ие болып, Қазақстан өз алдына мемлекет мәртебесіне жетіп бүкіл әлемге, жер жүзіне өзінің елдігін, саясатын танытатын шаққа жетіп отыр. Еліміздің елдігін танытып, оны жетілдіріп, дамытатын жас ұрпақ сондықтан да еліміздің болашағы жас жеткіншектің білім дәрежесінің тереңдігімен өлшенеді.

Сондықтан адал ниет жас жеткіншектерге білім мен тәрбие есігін ашу мектеп мұғалімдеріне абыройлы да жауапты жұмыс жүктейді. Өйткені білім тәрбиенің негізі, демек баланың жеке басының қалыптасу кезеңі мектеп қабырғасында қаланады.

Математиканы оқытудың білімдік мақсаты барлық оқушыларды математика ғылыми негіздері туралы жүйелі білімдермен және оларды толық, сапалы да берік игеруге қажетті біліктіліктермен, дағдылармен қаруландыру болып табылады. Осындай білім алу нәтижесінде оқушылардың ақыл-ойы дамиды.

Геометрия курсы қандай жолмен құрылмасын онда міндетті түрде теоремаларды дәлелдеудің, есептерді шығарудың әртүрлі әдістері қарастырылады. Олардың ішінде векторлық әдіс, координат әдісі және геометриялық түрлендірулер әдісі ерекше орын ала¬ды. Бұл әдістер өзара тығыз байланысты.

Геометрияның теориясын дәлелдеу мен есептерін шешудегі барынша тиімді әдістердің бірі -векторлық әдіс. Есептерді жалпы түрде шешуде де векторлардың атқаратын мәні зор. Бұл жөніндегі көптеген теориялық мәселелер мазмұнында теория тікелей қолданатын есептермен қосарланып баяндалу керек. Теориялық тұжырымдарды қолданып есептер шеше алған оқушы ғана сол оқу материалын меңгере алады.

Вектор ұғымы орта мектептің геометрия оқулығында 9-10 сыныптарда оқытылады. Геометрия курсында векторлар тақырыбына аз уақыт беріледі. Болашақ математика мұғалімі математиканы оқытудың жалпы заңдылықтарын, әдістемелік зерттеулерді, оқытудың әр түрлі әдіс-тәсілдерін, есептер шығаруда қолдана білуді қажет етеді. Есептерді шығаруда

векторлық әдісті қолдану тақырыптың өзекті мәселесі болып отыр.

1 Математиканы оқытуда векторлық алгебраны қалыптастыру 1.1 Математиканы оқыту және оның ғылыми- жаратылыстық білім беруде алатын орны

Векторлар техника ғылымдарының қауырт дамуына байланысты XVIII ғасырда бастау алып, XIX ғасырдың жартысында есептеудің талапқа сай жаңа түрін іздестіру барысында дүниеге келді. Векторлық есептеулердің жасы «жас» болғанымен бастау көзі сонау ерте заман данышпаны Аристотельдің «Механикалық проблемалар» атты еңбегінде кездеседі. Аристотель бұл еңбегінде бір нүктеге түсірілген және өзара бұрыш жасай бағытталған екі күштің әсерінен жүрген жолын табуды екінші мәселе етіп қойды.

XVIII ғасырда Аристотельдің «қозғалыстар параллелограмы» қайтадан жандана түсті. Галилео Галилей күш және оның денені қозғайтын құраушысының арасындағы метрикалық байланысты зерттеді. Оның еңбектеріне қарап, Галилейдің тең әсерлі күш, қорытқы жылдамдық ұғымдарына өте жақын, қапталдас келгенін көруге болады.

Ағылшын математигі, әрі физигі Исаак Ньютон қозғалыстарды жасауға алғаш рет «параллелограмм ережесін» пайдаланады. Неміс математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц геометриялық есептеудің идеясын берді, бірақ дамытпады.

Механикадағы векторлық алгебраның негізін қалаушы Джон Валлис механикадағы геометриялық аппарат жасауға жаңа қадам жасады. Ол екі үш күштің әсерлі және қорытқы жылдамдығын анықтауға колданылатын «параллелограмм ережесін» берді. Күштерді, жылдамдықтарды қосу, жіктеу, векторларды санға көбейту амалдарын алғаш рет берген де осы адам. Сонымен векторлық алгебраның негізін қалаған оқымысты – Джон Валлис. Дәл осы бағытта аса табысты еңбек еткен Л.Карно. Ол «қозғалыстың геометриялық теориясын» жасау мәселесін көтеру және қазір пайдаланып отырған векторлық есептеудің символдық аппаратын жасап шықты.

Монж-Понселле мектебінің көрнекті өкілі Бара де Сен- Венан серпімділік теориясындағы, гидродинамикадағы, термодинамикада, жалпы механикадағы тамаша еңбектерімен физиктер мен механиктер арасындағы аса танымал тұлға еді.Сен-Венан векторлық есептеулер саласына қомақты үлес қосты, механикада қолданылатын векторлық аппаратты жетілдіруде жемісті еңбек етті.

Д.Валлис, Л.Карно, Сен-Венан – бұлар векторлық алгебра және векторлық анализдің ұғымдарын ғылымға енгізді. Олар механикаға қажетті геометриялық аппарат жасау жолында жемісті еңбек етті. Бірақ векторлық есептеулердің негізін салушылар Ирландия математигі, астрономы Уильям Гамильтон және неміс физигі, математигі Герман Грассман деп айтылып жүр.

1844 жылы У. Гамильтон векторлық есептеулерге арналған алғашқы мақалалары және Г. Грассманның «Учение о претяженности» атты көлемді еңбегі жарияланды. 1853 жылы Гамильтонның «Лекции о кватерлонах» атты еңбегі жарық көрді. Бұлардың әрқайсысы есептеудің жаңа әрі әмбебап түрін жасады, векторлық есептеулерге көп еңбек сіңірді. «Вектор» ұғымын 1846 жылы ғылымға енгізген Гамильтон болды.

Векторлар қолдануларға өте бай. Бірақ ең алдымен вектор дегеніміз не? Вектор дегеніміз – өлшемімен ғана емес, бағытымен де сипатталатын және геометриялық қосу ережесіне бағынатын шамаларды айтамыз. Вектор латын сөзінен шыққан «ілестіру», «сүйреу», «тарту» деген мағынаны білдіреді. Сызбада вектор стрелкамен кескінделеді. Стрелка басынан ұшына қараған бағытын анықтайды. АВ векторының ұзындығын АВ векторының модулі немесе абсолют шамасы деп атайды және оны │АВ│арқылы белгілейді.

Екі вектордың қосындысы вектор болады, ол қосындыны екі әдіспен табуға болады: бірі – үшбұрыш әдісі, екіншісі – параллелограмм әдісі.

Бұл біздің вектор туралы негізгі мәліметтеріміз. Ал қазір вектор жайлы көбірек айтуға және вектордың қолдануларына анағұрлым тереңірек мысалдарды, есептерді қарастырамыз[2].

Анықтама: Вектор дегеніміз бағытталған және басы мен соңы көрсетілген кесінді.

Сонымен, вектор ұзындығы және бағытымен анықталатын геометриялық құрылым. Егер А вектордың бастапқы, В соңғы нүктесі (немесе ұшы) болса, оны арқылы белгілейді. Вектордың бағыты басынан ұшына қарай алынады.

В А 1-сурет.Бағытталған кесінді

Анықтама:Вектордың модулі немесе ұзындығы деп, оның басы мен ұшының ара қашықтығын айтады. векторының модулі не жай ғана АВ арқылы белгіленеді. Вектор үш түрге бөлінеді: байламды вектор, сырғымалы вектор, еркін вектор.

Байламды вектор деп бастапқы нүктесі белгілі бір нүктеге бекітілген, одан басқа нүктеге көшіруге болмайтын векторды айтады. Мысалы, күш белгілі бір нүктеге байланысты болса, онда оны басқа жерге көшіруге болмайды.

Сырғымалы вектор деп бір түзудің бойымен жылжитын векторды айтады. Мысалы, қатты затқа әсер ететін күш немесе жылдамдық сырғымалы вектор болып табылады. Мұндай вектор өзі орналасқан түзудің бойындағы кез келген нүктеге көшіріледі, ал одан басқа түзудің бойындағы нүктеге көшіруге болмайды.

Еркін вектор деп сол вектор жатқан түзудің бойымен жылжытуға болатын және өзіне өзі параллель көшірілетін векторды айтады, яғни вектордың бастапқы нүктесі кеңістіктегі кез келген бір нүктеге көшірілетін болса, ондай вектор деп аталады. Механикада , физикада векторлардың осы үш түрі де кездеседі, ал аналитикалық геометрияда әрқашанда еркін векторлар қолданылады.

Бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесі беттесетін векторларды нөдік вектор дейді де, арқылы белгілейді. Нөлдік вектордың белгілі бір бағыты болмайды, ал ұзындығы нөлге тең болады, яғни

Анықтама: Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторларды коллинеар векторлар деп аталады.

Коллинеар векторлар не бағыттас не қарама қарсы бағытта болады.Егер мен бағыттас векторлар болса , қарама қарсы бағытта болса арқылы, коллинеар болса арқылы белгіленеді. Нөлдік вектор кез келген векторға бағыттас болады.

Анықтама:Нөлдік емес векторлардың бағыттары бірдей, ұзындықтары тең болса, онда олар тең векторлар делінеді. Барлық нөлдік векторлар тең деп саналады.

Сонымен болса, онда біріншіден , екіншіден ,үшіншіден болуы керек. мен векторлар өзара тең болмайды, оларды бір біріне қарама қарсы векторлар дейді. Олар үшін теңдігі дұрыс болады. Векторлардың теңдігінің анықтамасынан мынадай тұжырымдар шығады:

1. Векторларды кеңістіктің кез келген нүктесіне көшіруге болады. Сондықтан да аналитикалық геометрияда еркін вектолар қарастырылады;

2.Коллинеар векторларды бір түзуге көшіруге болады; 3.Кез келген екі векторды бір жазықтықта жататындай етіп көшіруге болады;

4. векторы мен О нүктесі үшін болатын тек бір ғана М нүктесі болады. М нүктесін осылайша салу векторын О нүктеден өлшеп салу делінеді. В

М А О 2-сурет. Параллелограм

Егер вектор О нүктеден өлшеп салынған болса немесе векторы векторды параллель жылжытудан шыққан болса (2-сурет), онда мен әртүрлі векторлар