Тригонометриялық функциялар теңдеулері, 10 сынып

Бір текті тригонометриялық функциялардың теңдік

шартының көмегімен шешілетін теңдеулер

Көптеген тригонометриялық теңдеулер біртекті тригонометриялық функциялар теңдігінің шарты негізінде шешіледі, яғни шарттар мынадай екі бұрышты қанағаттандыруы керек: және , егер

а) б)

в) осы аталған шарттарды кіргіземіз:

Теорема І. Екі бұрыштың синусы тең болу үшін, шарттардың біреуінің орындалғаны қажет және жеткілікті, екі бұрыштың айырымы жұп санға көбейткендегі -ға тең болу керек, ал қосындысы тақ санға көбейткендегі ға тең болуы керек, ал қосындысы тақ снға көбейткенднгі -ға тең болу керек.

Қажетті дәлелдеуі:Берілгені Дәлелдеу: немесе

Шарт бойынша бұл теңдік

орындалады егер

Жеткілікті дәлелдеуі: Берілгені: немесе

Дәлелдеу: Шарттан шығатыны: 1) онда яғни немесе 2) онда

яғни

Мысалдар: а) онда б) в) г) себебі синустар теңсіздігінің шарты бойынша орындалмайды.

Теорема ІІ:Косинустың екі бұрышы тең болуы үшін келесі шарттардың орындалғаны қажет және жеткілікті:екі брыштың айырымы -дың жұп туындысына тең болуы керек.Екі бұрыштың қосындысы -дың жұп сан болғандағы туындысына тең болуы керек.

Қажетті дәлелдеуі: Берілгені: Дәлелдеу: : немесе

Шарт бойынша: бұл

орындалады егер

1) немесе

Жеткілікті дәлелдеуі: Берілгені: немесе

Дәлелдеу: Шарттан шығатыны немесе

Мысалдар: а) . б) в) г) және яғни косинустар теңсіздігінің шарты орындалмайды.

Теорема ІІІ: тангенстердің бұрышы тең болуы үшін келесі екі шарттың орындалғаны қажет және бір уақытта жеткілікті: берілген бұрыштың әрқайсысының тангенсі бар болады және екі бұрыштың айырымы бүтін санға көбейкендегі -ға тең.

Қажетті дәлелдеуі: Берілгені: және

Дәлелдеу:

Шарттан шығатыны: бірақ

және

Жеткілікті дәлелдеуі: Берілгені: . және

Дәлелдеу: шарт бойынша: онда

Тангенстің периоды -ға тең, сондықтан Мысалдар: 1 мысал: 2 мысал: