Тригонометриялық функцияларды түрлендіру ғылыми жұмыс

Қосынды және айырым түрінде берілген тригонометриялық функциялардың көбейтінді түрге келтіру

Екі аргументтің қосындысының, айырымының синустарының және косинустарының қосу формулаларын жазайық:

sin(α+β) =sinα·cosβ+cosα ·sinβ (1)

sin(α-β) =sinα·cosβ-cosα · sinβ (2)

cos(α+β) =cosα·cosβ-sinα·sinβ (3)

cos(α-β) =cosα·cosβ+sinα·sinβ (4)

Алдымен аргументтері әр түрлі синус және косинус функцияларының көбейтіндісінің формуласын қорытып шығарайық. (1),(2) формулаларын мүшелеп қосамыз. Сонда sin(α+β) + sin(α-β) =2 sinα·cosβ. Енді соңғы теңдіктен sinα·cosβ өрнегін табамыз.

sinα·cosβ=1/2·[sin(α+β) + sin(α-β) ] (5)

Аргументтері әр түрлі синус және косинус функцияларының көбейтіндісі (sinα·cosβ) осы аргументтердің қосындысы мен айырымының синустарының қосындысының жартысына (1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]) тең. Енді (3),(4) формулаларына мүшелеп қоссақ, онда cos(α+β)+ cos(α-β) = 2cosα·cosβ. Осыдан cosα·cosβөрнегін анықтаймыз:

cosα·cosβ=1/2· [cos(α+β)+ cos(α-β)] (6)

Аргументтері әр түрлі косинус функцияларының көбейтіндісі cosα·cosβ осы аргументтердің қосындысы мен айырымының косинустарының қосындысының жартысына (1/2[cos(α+β)+ cos(α-β)]) тең.

(3) және (4) формулаларының айырымын қарастырсақ, онда келесі формула шығады:

sinα·sinβ=1/2·[cos(α-β)+ cos(α+β)] (7)

Аргументтері әр түрлі синустардың көбейтіндісі (sinα·sinβ) осы аргументтердің айырымының косинусы мен қосындысының косинусының айырымының жартысына (1/2[cos(α-β)+ cos(α+β)]) тең. Енді осы формулаларды қолдануға мысалдар қарастырайық.

1-мысал. көбейтіндісінің мәнін табайық.

Шешуі. Көбейтіндінің мәнін табу үшін (5) формуланы пайдаланамыз. Сонда

Жауабы: .

2-мысал. өрнегін есептейік.

Шешуі. Өрнекті есептеу үшін (6) формуланы қолданамыз.

Жауабы:

3-мысал. көбейтіндісінің мәнін табайық.

Шешуі. Көбейтіндінің мәнін табу үшін (7) формуланы пайдаланамыз. Сонда

Жауабы:

1-мысал. және болса, онда мәндерін табыңыз.

Шешуі. Көмекші тікбұрышты үшбұрышты пайдаланайық.

1-сурет.

болғандықтан, , ал, шартын ескерсек: .

Жауабы: .

2-мысал. есептеңіз.

Шешуі. және деп белгілесек, онда анықтама бойынша . Ендеше, (12-мысал әдісімен). Сондықтан

Жауабы:.

Мына түрдегі: тригономериялық өрнектерді ықшамдау, өрнектің мәнін табу синустар мен косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру формуласын қолдану немесе қосбұрыштың синусының формуласына келтіру арқылы жүзеге асырылады.

3-мысал. өрнегінің мәнін есептеңіз.

Шешуі. а) 1-ші тәсіл. Косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру және келтіру формулаларын қолданамыз:

Жауабы: .

б) 2-ші тәсіл. Қосбұрыштың синусының формуласына келтіреміз:

Жауабы:

в) 3-ші тәсіл. формуласынан

(1-формула) алуға болады. Ендеше,

Жауабы: .

4-мысал. өрнегінің мәнін есептеңіз.