Интересные признаки делимости: материал по математике для 6 класса

Интересные признаки делимости, о которых обычно не рассказывают в 6 классе

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;

На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;

На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;

На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;

На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;

Признак делимости на 7 часто пропускается;

Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.

Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.

Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.

Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.Используя универсальный признак делимости, можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7 Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7

Пример 1:Делится ли на 7 число 238?23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.Действительно, 238 = 34х7Это действие можно проводить многократно.Пример 2:Делится ли на 7 число 65835?6583-5-5 = 6573657-3-3 = 65165-1-1 = 6363 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).Значит, и число 65835 делится на 7.Усовершенствованный признак делимости на 4Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.Пример 3Делится ли число 52 на 4?5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.Пример 4Делится ли число 134 на 4?3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.Усовершенствованный признак делимости на 8Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.Пример 5Делится ли число 512 на 8?5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.Пример 6Делится ли число 1984 на 8?9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.Усовершенствованный признак делимости на 13Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.Пример 7Делится ли на 8 число 65835?6583+4*5 = 6603660+4*3 = 67267+4*2 = 797+4*9 = 43Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.Пример 8Делится ли на 13 число 715?71+4*5 = 919+4*1 = 1313 делится на…