Конус және қиық конус, 11-сыныпқа арналған сабақ жоспары

Топ: НО-118, ТОРО-118, Ф-128, ФС-128, СМС-128, СЭЗ-128

Өткізілу мерзімі:

Сабақтың тақырыбы: Конус. Қиық конус. Конустың, қиық конустың осьтік қималары

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Тік дөңгелек конус және оның элементтерімен, конустың осьтік қимасымен таныстыру.

Дамытушылық: есеп шығару дағдыларын арттыру.

Тәрбиелік: жауапкершілікке, жылдамдыққа тәрбиелеу

Сабақтың түрі: аралас

Сабақтың көрнекілігі: кітап, дидактикалық материалдар, проектор.

Сабақ барысы:

Ι. Ұйымдастыру кезеңі: а) амандасу; ә) түгендеу; б) кезекшімен жұмыс; в) назарын сабаққа аударту.

ΙΙ. Үй жұмысын тексеру. Дәптерлерін тексеру. Жауаптарын салыстыру

ІІІ. Негізгі кезең: жаңа сабақты түсіндіру.

Конус – айналу денесі

Бізге Q тікбұрышты үшбұрышы берілсін (74. 2-сурет). Егер осы тікбұ-рышты үшбұрышты оның катеті арқылы өтетін l осінен айналдырсақ, нәти-жесінде, айналу денесі – конусты аламыз (74. 3-сурет).

11-анықтама. Тікбұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын фигура конус деп аталады.

74. 3-суретте О бұрышы тік болатын FAO үшбұрышын оның FO катетінен айналдырғанда алынған конус бейнеленген. Осы суретті және жинақталған ақпараттарды пайдаланып, конустың мынадай қасиеттерін алуға болады:

1. ОА катеті айналғанда конустың табаны деп аталатын дөңгелекті сызып шығады.

2. Конустың табан жазықтығы оның FO осіне перпендикуляр, . енді біз конустың биіктігін анықтай аламыз.

12-анықтама. Конустың төбесінен оның табан жазықтығына жүргізілген перпендикуляр конустың биіктігі деп аталады.

3. FA гипотенузасы осьтен айналғанда конустың бүйір бетін сызып шығады. Табан шеңберінің кез келген нүктесін конустың F төбесімен қосатын кесінділердің проекциялары тең, сондықтан олар өзара тең кесінділер. Бұл кесінділер конустың жасаушылары деп аталады. Конустың бүйір беті де конустық бет деп аталады.

Табаны дөңгелек және биіктігінің табаны дөңгелектің центріне дәл түсетін конусты тік дөңгелек конус деп атайды (грек. konos – «қарағай бүршігі»).

75-суретте көлбеу (тік емес) конус бейнеленген.

Конустың жазықтықпен қимасы

Егер α жазықтығы конустың осі арқылы өтсе, онда қимада пайда болған үшбұрыш конустың осьтік қимасы деп аталады.

76.2-суреттегі FAВ үшбұрышы осьтік қима, ал 76.1-суреттегі FAВ үшбұрышы осьтік қима емес.

Конусты оның осіне перпендикуляр α жазықтығымен қиюға болады. Бұл жағдайда қиюшы жазықтық табан жазықтығына параллель, ал конустың қимасы дөңгелек болады (76.3-сурет).

Егер конустың жасаушысы арқылы өтетін, конуспен басқа ортақ нүктелері жоқ жазықтық конусқа жанама жазықтық деп аталады (77-сурет).

Конустың жазбасы және бетінің ауданы

Егер конустың бүйір бетін қайсыбір жасаушысының бойымен, мысалы, АВ-ның бойымен қиып жазықтыққа жазсақ, онда конустың бүйір бетінің жазбасын аламыз (78.1-сурет).

Конус табанының радиусы R, жасаушысының ұзындығы l, ал биіктігі Н болсын (78.2-сурет), яғни осінен айналғанда қарастырылып отырған конус шығатын тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары белгілі дейік. Пифагор теоремасына сәйкес бұл шамалар

теңдігімен байланысады.

Демек, бұл шамалардың екеуін білсек, үшіншісін таба аламыз. Конус табанының ауданы π-қа тең екені белгілі. Ал конустың бүйір бетінің ауданын өлшеу үшін оның бүйір бетін жасаушыларының бірініңбойымен «қиып», жазықтыққа жазамыз. Сонда радиусы l-ге тең дөңгелектің секторын аламыз (78.2-сурет). Конустың бүйір бетінің ауданы дегеніміз – осы сектордың ауданы. Оны есептеу үшін алынған секторғатсәйкес бұрыштың φ градустық шамасын табамыз. Оның доғасының ұзындығы конустың табан шеңберінің ұзындығына, яғни -ге тең. Екінші жағынан градустық өлшемі φ-ге тең сектор доғасының ұзындығы болады. Сондықтан,

, бұдан .

өрнегіне φ-дің табылған мәнін қойсақ, конустың бүйір бетінің ауданын есептеу формуласын аламыз:

Сонымен, біз мынадай қорытындыға келдік.

8-теорема. Конустың бүйір бетінің ауданы оның табан шеңберінің ұзындығы мен жасаушысының көбейтіндісінің жартысына тең, яғни

мұндағы – конус табанының радиусы,

Конус бетінің ауданы немесе конустың толық бетінің ауданы үшін оның жазбасының ауданы алынады. Ол конустың бүйір бетінің ауданы мен табанының ауданының қосындысынан тұрады (78-сурет).

мұндағы

– табанының радиусы.

Конус пішіндес заттарды дайындауға констың жазбалары кеңінен қолданылады. Оларға демалыс палаткалары, әртүрлі шатырлар, қайың шырынын жинауға арналған ыдыстар, клоун қалпақтары және т.б. жатады. Кейбір ғимараттар мен мешіт мұнараларының төбелері конус пішіндес болып жабылады (79-сурет).

Төбелерді жабуға, бояуға, алтындауға және т.б. қажет материалдардың шығынымен байланысты есептеулер конустың бүйір бетінің аудандарын есептей білуді талап етеді.

Қиық конус