Мектеп математикасындағы дифференциалдық теңдеулер мақаласы

Мақала

Қараханов Әліби

Аннотация: Бұл мақалада мектеп математикасындағы қолданылып, өтетін дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ақпараттар айтылған. Осы мақаланың ішіне дифференциалдық теңдеулер арқылы шешілетін мысал есептерді басқа пәндермен, сызбалармен байланыстырып келтірдім.

Кілт сөздер: Дифференциал, айнымалы, аралық, координата, функция.

Дифференциалдық теңдеу деп, тәуелсіз айнымалы мен оған тікелей тәуелді болатын белгісіз функцияларды, олардың әртүрлі ретті туындылары мен аргументтерін бір бірімен байланыстыратын теңдеулердің түрлерін айтамыз.

Дифференциалдық теңдеу

түрінде берілген байланысты айтамыз. Мұндағы у – ізделініп отырған функция, х – тәуелсіз айнымалы, F – бәрін байланыстырып тұратын, аргументтерге тәуелді белгілі функция.

Ал бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі:

түрінде жазуымызға болады. Еерде осы теңдеуді туынды арқылы ашып жазатын болсақ:

Егер нүктесінің қасында функциясы шексіздікке ұмтылатын болса, онда:

теңдеуін қарастырсақ болады. Дегенменде, көптеген жағдайларда теңдеулер үшін орнына мына теңдеуді қоя аламыз:

Егерде осы түрдегі теңдеудің екі жағына да қандай да бір функциясын көбейтіп жазатын болсақ, онда мына түрдегі бірінші ретті симметриялы теңдеуді аламыз:

Мұндағы .

Осы теңдеудің ішіндегі х пен у айнымалыларының кез келгенін тәуелсіз айнымалы ретінде қарастыруға болады.

Бірінші ретті теңдеудің I, мысалы (а,в) аралығындағы шешімі деп, осы аралық ішінде анықталып, үзіліссіз интегралданатын, функциясы табылған облыстан шықпайтын және I аралығында тәуелсіз айнымалылар үшін барлық мәндерінде теңдеуін тепе теңдікке айналдырып, сонымен қатар

орындалатыны анық болатын, функциясын айтамыз. Көп жағдайларда дифференциалдық теңдеудің жауабы айқындалмаған түрде табылады Бұл шешім теңдеуінің жауабы болатын функциясы арқылы х ті айқындалмаған түрде табады. Бұл жағдай кезінде

түріндегі шектеуін ескереміз де, теңдеуімен тепе теңдік алынады. Егер теңдеуді интегралдаған кезде х пен у жауаптары кез келген t параметрінің үзіліссіз функциясының түрінде алынатын болса, сонымен қатар функцияларын теңдеуге апарып қойғанда одан тепе теңдік орындалса, яғни

болса, онда оның жауаптарын параметрлік түрде жазылған шешімдер деп атаймыз. Жалпы дифференциалдық теңдеулер үшін шешімдер шексіз көп деп қарастырамыз.

Мысал 1 Координаталардың остері араларындағы жанаманың кесіндісі жанасу нүктесінде тең екі бөлікке бөлінетін қисықтарын табу қажет болсын.