Тригонометриялық функцияларды интегралдау әдістері

М.Х.Дулати атындағы Тараз университетінің 4 курс математика мұғалімдерін даярлау мамандығы студенті - Мекебаева Ақниет Аманбайқызы

Тригонометриялық функцияларды интегралдау

Ұсынылып отырған мақала жұмысында тригонометриялық функциялардың интегралдары қарастырылады, яғни анықталмаған интегралдарды толықтыру барысында әртүрлі комбинациялардағы синустар, косинустар, тангенс пен котангенстерді қолданамыз. Жалпы тригонометриялық функциялардың интегралдарын түсіну үшін қарапайым интегралдауды білу қажет, сондай-ақ кейбір интегралдау әдістерін қолдана білу керек.

Бұл жұмыста тригонометриялық функция ұғымын және оның қасиеттерін, түрлерін, шығарылу тәсілдерін кеңінен қарастырылған.

Тригонометриялық функцияларды интегралдап шығару барысында интегралдар кестесі, дифференциялдау және тригонометриялық формулаларға анықтамаларды білу қажет.

Сонымен қатар тригонометриялық функцияларды қарапайым интегралдау ғана емес, оның барлық қасиеттерін (универсал алмастыру тәсілі, тригонометриялық алмастыру,, , т.б) игеруге болады.

1 ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ АЛМАСТЫРУЛАР

түрінде берілген болса, демек немесе алмастыру жасаймыз, яғни:

Мұндағы а-параметрі оң тұрақты деуге болады. Бұл ол жерде неге керек, не үшін қажет деген сауалдарға төменде келтіретін мысалдардан байқаймыз. Ал қазір біз бұл ауыстырудың қай жерде және оның бізге не беретіні туралы анықтайық. Сондай-ақ біз қарапайым тригонометрияны еске түсіретін боламыз.

Мысал

интегралын қарастырсақ

Шешуі:

Осыдан мынадай өрнекті шығарамыз,

Осындай түріндегі интегралы берілген болса, онда немесе алмастыруын жасаймыз.

2 Универсал алмастыру

u мен айнымалдарының R(u,) рационал бөлшегі деп, осы айнымалдардан тұратын көпмүшелердің қатынасын атайды, яғни (1.2)

түріндегі, яғни sinx пен cosx функцияларының рационал бөлшегінің кез келген интегралы

универсал алмастыру деп аталатын алмастыру қолданамыз.

Вейерштрасс деп аталатын алмастыру ағылшынның әдебиеттерінде Карл Вейерштрасс атауымен аталып, тригонометриялық функциялардың анықталған және анықталмаған интегралдарында қолданылатын тәсіл. Негізінен бұл алмастыру тәсілін пайдалану барысында барынша мұқият орындау қажет. Себебі, көбінесе бұл тәсіл көлемді түрлендірулер болуы мүмкін, сондықтан қарапайым қателіктерге ұшырап қалмау қажет. Сонда - тригонометриялық функциялардың рационал функциясы жаңа t айнымалысының ұтымды функцияларымен рационал функциясына түрленеді.

Тригонометриядан белгілі формулаларды қолдана отырып:

яғни, sinx, cosx, dx рационал функциялар арқылы өрнектеледі. Демек мұндағы интегралданатын функцияны t айнымалысы арқылы рационал функция болады.