9-сынып алгебра мәтінді теңдеулер жинағы

Мәтінді теңдеулер жинағы

Әмірбек Ақерке Сейілбекқызы

Алғы сөз

Бұл құрал жалпы білім беретін мектептердің 8-9 сыныптарына арналған «Алгебра» оқулығына қосымша болып табылады.

Құралдың мақсаты:оқушылардың алгебра пәніне деген қызығушылығын арттыру, келесі сыныптарда алгебра және геометрия курстарын, сонымен қатар жаратылыстану-математикалық циклі пәндерін жүйелі түрде игеруге негіз жасау.

Құралдың міндеттері:

–қарапайым , күрделі теңдеудің шығару жолдары көрсетілген

–сандар және олардың практикалық есептеу қызметіндегі рөлі туралы түсініктерін дамыту;

–ауызша және жазбаша есептеудің практикалық дағдыларын дамыту;

–есептеу мәдениетін қалыптастыру;

–күрделі теңдеулерді шығару жолдары

–санды және әріпті өрнектерді түрлендіру дағдыларын қалыптастыру;

–бір айнымалысы бар теңдеулерді шығару біліктерін дамыту;

–бір айнымалысы бар теңсіздіктерді шығару біліктерін қалыптастыру;

Құрал бірнеше бөлімге бөлінген. Бөлімдер жоғарыда көрсетілген сыныптардағы математика курсының негізгі тарауларының материалдарына сәйкес құрастырылған және әр бөлімде оқу қызметтерінің түрлері бойынша топтастырылған тапсырмалар жүйесі берілген.Айнымалысы бар сызықтық теңдеулер,квадрат теңдеулер, бөлшек- рационал теңдеулері. Жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу әдісі көрсетіліп, есептер берілген.

Шығарылған есептердің алгоритміне қарап, өздері шығару үшін есептер топтамасы берілді.

Берілген тапсырмалардың дұрыс орындалғанын тексеру үшін құрал соңында есептердің жауаптары берілген.

Теңдеулер тақырыбына арналған алгебрадан есептер жинағы.

I.Теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын айнымалының мәні бір айнымалысы бар теңдеудің түбірі деп аталады. Мысалы:

теңдеуінің түбірі 0,8–ге тең. 0,8 саны теңдеудің түбірі болады, себебі ол теңдеуді 6=6 ; тура теңдікке айналдырады.. Бір айнымалысы бар теңдеуді шешу дегеніміз- оның барлық түбірлерін табу немесе түбірлерінің болмайтынын дәлелдеу. Бірдей түбірлері болатын бір айнымалысы бар теңдеулер немесе түбірлері болмайтын теңдеулер мәндес теңдеулер деп аталады. Мысалы:

және теңдеулері мәндес теңдеулер. Бұлардың әрқайсысының екі түбірі бар: -3 және 3. Бір айнымалысы бар теңдеулерді шешкенде ,мына қасиеттер пайдаланылады.

Егер теңдеуде қосылғыштың таңбасын өзгертіп, теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіретін болса, онда берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.

Егер теңдеудің екі жағын да нөлден өзгеше бір санға көбейтсе немесе бөлсе, онда берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.

түбіріндегітеңдеу бір айнымалысы бар сызықты теңдеу деп аталады, мұндағы -айнымалы, a және b кез келген сандар. a болса, онда теңдеуінің бір ғана түбірі болады. Мысалы 12=4 теңдеуінің түбірі немесе болады.

б) a=0 және b≠0 болса, онда теңдеуінің түбірі болмайды. Мысалы: теңдеуінің түбірі болмайды.

в) егер және a=0, b=0 болса, онда теңдеуінің түбірі кез келген сан болады.

кез келген сан. Мысалы: 1-есеп: Теңдеуді шеш:

Екі жағын да 24-ке көбейтіп, мынадай теңдеу аламыз.

Жауабы:

есеп: Теңдеуді шеш:

( 4 -)∙у =6

( 4 -)∙у = (4 - 2)∙у =2 ∙у =∙у ; ∙у=6 ; у=6: ; у=; у= 3;

3- есеп: Теңдеуді шеш:7х-(7х-(х-8)) =1

7х-(7х-х+8) =1; 7х-6х-8 =1; х=9;

4-есеп: Теңдеуді шеш: 9+ (х-(х-(х-9)))= 2-х

9 + (х- ( х- х + 9)) = 2-х

9 + (х-9 ) = 2-х; х= 2-х; 2х=2 ; х= 1;

5- есеп: Жүк машинасының жүргізушісі 40км/сағ жылдамдықпен А пунктіне уақытында жетпекші болып, ойлады .Бірақ жолдың 2/5 бөлігін жүрген соң , 20 мин. тоқтауға мәжбүр болды. Сондықтан жылдамдығын алғашқыдан 5 км/сағ –қа арттырды .А пунктіне дейінгі қашықтықты табыңыз:

Арақашықтық,км

Жылдамдық , км/ сағ

Уақыт, сағ.

Есептеуі бойынша

х

х/40

Шындығында

0,4х

2х/200

0,6х

3х/225

Мынадай теңдеу құрамыз: ; : ;

15х = 6х +8х + 200; х =200 ; Жауабы: 200 (км).

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі.

Анықтама. Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесінің шешімі деп, жүйенің әрбір теңдеуін тура теңдікке айналдыратын айнымалылардың пар мәндерін айтамыз. Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз- оның әрбір теңдеуін дұрыс теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндерін табу немесе оның шешімдерінің болмайтынын дәлелдеу. Мына теңдеулер жүйесін шешу керек.

I тәсіл ауыстырымдылық. I теңдеуден y-ті x арқылы өрнектейміз де, II теңдеудегі y-ң орнына қоямыз. Сөйтіп бір белгісізі бар теңдеуге келтіреміз.

Жауабы:

II. тәсіл алгебралық қосу.Екі айнымалының біреуінің коэффициентін қарама-қарсы сандар болатындай түрге келтіріп , қосу арқылы бір айнымалысы бар теңдеуге келтіруге болады.

І теңдеудің әрбір мүшесін 2-ге мүшелей көбейтіп, ІІ теңдеудің әрбір мүшесіне қосамыз.

11x=5; x=5

25+y=12

10+y=12; y=12-10; y=2;

III.Тәсіл. Графиктік тәсіл. Әрбір теңдеудегі y-ті x арқылы өрнектейміз.

, теңдеулер жүйесінің шешімі болады.

Әрқайсысының кесте құру арқылы графиктерін координаттық жазықтықта саламыз. Графиктері түзу, олардың қиылысу нүктесінің координаталары теңдеулер жүйесінің шешімі болады.

3.Квадрат теңдеу.

Анықтама теңдеу деп аталады. Мұндағы: x айнымалы, a, b және c қандай да бір сандар.

a≠0; a, b және с сандары квадрат теңдеудің коэффиценттері. а саны- бірінші коэффицент, b саны екінші коэффицент, c-бос мүше деп атайды. Квадрат теңдеудің сол жағы екінші дәрежелі көпмүше болғандықтан, оны II дәрежелі теңдеу деп атайды. Егер квадрат теңдеудің b немесе c коэффиценттерінің бірі нөлге тең болса, онда мұндай теңдеуді толымсыз квадрат теңдеу деп атайды. Толымсыз квадрат теңдеудің теңдеудің үш түрі бар.

3. теңдеуін шешу үшін, бос мүшені теңдеудің оң жағына шығарып, теңдеудің екі жағын да а-ға бөлу керек. болғандықтан, болады.

Егер болса онда теңдеудің екі түбірі болады.

= Егер - <0 болса,онда теңдеудің түбірі болмайды.

М: - 1=0; =1; = ; m=

Жауабы:

Екінші теңдеуді шешу үшін, сол жағын көбейткіштерге жіктейміз. х(ах+в)=О; х(ах+в) көбейтіндісі көбейткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең болса, сонда ғана нөлге тең болады. х=О немесе ах+Ь=О болатын ах+Ь=О теңдеуін шешіп, мынаны табамыз.

ax= -в, х= -

Олай болса, х(ах+в) кобейтіндісі х=Оболғанда және х= - болғанда нөлге айналады. 0 және - сандары ах2 + Ьх = о теңдеуінің түбірлері болады.

3. ах2 = О теңдеуінің бір ғана тубірі болады. Ол х=О.

4. ах2 + Ьх +с = 0 жалпы квадрат теңдеу. Теңдеу жалпылама түрде шешіледі де, нәтижесіңде түбірлердің формуласы шығарылып алынады. Осы формула кез- келген квадрат теңдеуді шешкенде, қолданылады. Мына квадрат теңдеуді шешейік. ах2 + Ьх +с = 0;

Теңдеудің екі жағын да а-ға бөліп, онымен мәндес болатын келтірілген квадрат теңдеу шығарып

аламыз: + =0

Осы теңдеуді түрлендірейік. + =-;

Бұл теңдеудің түбірлерінің саны бөлшегінің таңбасына тәуелді болады.

-оң сан,сондықтан өрнегінің таңбасымен анықталады.

квадрат теңдеудің дискриминанты деп атайды.Мұны Д әрпімен белгілейді.

Д= ; сонда =

x+=; ; (1)

(1) формула квадрат тендеудің түбірлерінің формуласы.

1. Д=О болса, Онда х = - бір түбірі болады.

2. Д<О болса, түбірлері болмайды.

3. Д>О болса, онда 2 түбірі болады.

Мысалы: 5х2 -8х+3 = О; а = 5;в = -8;с = 3;

Д = (-82) - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4 > О ;

Ескерту. Екінші коэффициент жұп сан болса, онда квадрат тендеуді былай жазуға болады.

aх2+ 2кх + с = О мұндағы 2к. = в :

сонда D= 4к.2 - 4ас =4(к2 – ас);

=; D=-ac

D=-ac ; ;

Бастапқы тендеуді басқаша шығаруға болады. D = 42 - 5 * 3 = 1;

Виет теоремасы.

х2 + рх + q = 0 түріндегі тендеу келтірілген квадрат тендеу деп аталады. (І коэффициент 1-ге тең болатын тендеу). Бұл тендеу үшін (1) формула.

; ; болып жазылады.Бұдан

+ = -p;

Виет теоремасы.

-p;

==q; шығады. Виет теоремасын қолданып, квадрат теңдеудің шешімдерін ауызша табуға болады.

Мысалы: х² +5х+6 =0 теңдеуінің түбірлері -2 және-3 ; тексерейік х1+х2=-5; х1*х2=6;

Квадрат теңдеуді шешу тәсілдері.

Мысалы, (1) (лақтыру әдісі) яғни 1-ші коэффициентті бос мүшеге көбейтеміз.

түбірлерін тауып, шыққан сандарды I коэффициентке бөлеміз.

(1)Теңдеудің түбірлері

Жауабы:

5. Квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қасиетін қолдану.

5.1.Квадрат теңдеудің коэффиценттерінің қосындысы нөлге тең болса, онда ; болады.

(Егер ІІ коэффициент I коэффицент пен бос мүшенің қосындысына тең болса, онда теңдеуінің бірінші түбірі -1-ге, ал екінші түбірі бос мүшені I коэффицентке бөліп “-” таңбасымен жазуға болады.)

Мысалы,

болғандықтан (cболғандықтан болады). Осы тәсілдерді қолдану теңдеулерді оңай, тиімді тәсілмен шапшаң шешуге мүмкіндік береді.