Элементы комбинаторики: материал по алгебре

Элементы комбинаторики

Введение

В данном докладе предлагается решение задач, практические, самостоятельные работы; практикумы по решению задач, по составлению задач. Данный доклад предназначен для учеников 8-10 классов, но может и использоваться учениками 11 классов при подготовке ЕНТ по математической грамотности т. к. материал излагается с самих азов. Он прост, понятен и в то же время не потерял своей научности.

Предисловие

Вы начинаете изучать раздел математики под названием «Комбинаторика».

Комбинаторика возникла в XVII веке. Тогда широко были распространены лотереи, игры в карты и кости. И первые комбинаторные задачи касались именно азартных игр, так как возникало много вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре.

Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности вы можете выработать, если будете настойчивы, трудолюбивы и внимательны на уроках, будете самостоятельно и с интересом заниматься.

Поиск закономерностей. Кто знает, что такое закономерность? Это закон, правило, по которому записаны числа, расположены фигуры.

Решение примеров. Сейчас мы будем выявлять закономерности в расположении фигур.

1) Вставить пропущенные числа:

2) Продолжить ряд:

Правило суммы и правило произведения

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЗДАНИЕ»? (в слове «здание» 3 согласных и 3 гласных буквы. По правилу произведения получаем 3*3=9 способами)

Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Решите эту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов; если надо выбрать два белых квадрата. (На шахматной доске 64 клетки: 32 белых квадрата, 32 черных квадрата. По правилу произведения получаем число выбора двух квадратов: одного черного и одного белого: 32*32=1024.

Если нет ограничений на цвет, то первый квадрат можно выбрать 64 способами, а второй – 63 способами (один квадрат уже выбран), следовательно, 64*63=4032

Если надо выбрать два белых квадрата, то первый квадрат можно выбрать 32 способами, а второй квадрат – 31 способом, поэтому, 32*31=992.

РазмещенияСколько букв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака? ()

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать? ()

В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?

В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

«Размещений с повторениями». Множества, из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством, состоящим из п-элементов.

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями с повторениями из п элементов по k.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

Вычислите:;

Решение:= 53=125;=35=243.

Понятие «факториал»

Произведение всех чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается n!. В комбинаторике 0!=1 и 1!=!

Задача. Вычислите: 4!; 6!.

Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто.

Понятие «размещений без повторений»

Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число размещений без повторений

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, так что все элементы каждого кортежа должны быть различными, называют размещениями без повторений из п элементов по k, а их…