Функцияны зерттеуде туындыны қолдану әдістері материалы

Мақала

Шабден Нұртілеу

ФУНКЦИЯНЫ ЗЕРТТЕУДЕ ТУЫНДЫНЫ ҚОЛДАНУ ӘДІСТЕРІ

Аннотация: Мен бұл тақырыпты зерттей отырып, функцияның өсу және кему аралықтарымен танысамыз, туынды арқылы функцияның өсу және кему кезеңдерін табу дағдыларын игереміз.

Кілт сөздер: функция, туынды, дифференциал

Анықтама: Айталық, y=f(x) функциясы нүктесінің маңында анықталсын. Онда, егер қатынасының ұмтылғанда шегі бар болса, онда бұл шекті у=f(x) функциясының нүктесіндегі туындысы деп атайды. Оны былай белгілейді:

Сонымен,

(f`-«эф штрих» деп оқылады).

Егер белгілеуін енгізсек, онда (1) анықтаманы былай жазуға болады:

Ал функция өсімшесі екенін ескерсек, онда функция туындысының анықтамасын былай жазамыз:

Егер, y=f(x) функциясы (a;b) аралығының (мұнда a=-, b=+ болуы да мүмкін) әрбір нүктесінде туындысы бар болса, онда бұл функцияны (a;b) аралығында дифференциалданады деп атаймыз. Жалпы, функцияның берілген нүктедегі туындысын анықтау процесін функцияны дифференциалдау деп атайды. Сонымен, егер х∈(а,b) болса, онда (1`) теңдікпен (a;b) аралығында функция анықталатындығы түсінікті. Бұл f`() функциясын берілген f(x) функциясының (a;b) аралығындағы туындысы деп атайды.

1-мысал. f(x)=x функциясының туындысын табайық:

Шешуі. Δу=x+Δx-x=Δx. Сонда

2-мысал. f(x)= функциясының туындысын табу керек.

Шешуі.

Осыдан,

Функцияның туындысының анықтамасы бойынша табу көп жағдайда белгілі бір қиындықтар мен ұштасып жатады. Ал, практикада функцияны белгілі бір формулалармен ережелердің көмегімен дифференциалдайды.

u=u(x) және v=v(x) функциялары қандайда бір (a;b) интервалында дифференциалданатын болсын. Онда бұл функцияларға туынды табудың мынадай ережелері пайдаланылады.

Дәлелдеуі: Үлгі ретінде формуланың дәлелденуін келтірейік.

болады, олай болса:

Осы туындыға байланысты мысалдар келтіріп көрейік:

1-мысал. функциясының туындысын қарастырайық.

Шешуі: деп белгілеп, ары қарай есептейік.

2-мысал. фуцнкциясының туындысын табайық.

Шешуі.

Қорытынды

Функцияларды және олардың әрекетін зерттеуде туындылар маңызды рөл атқарады. Функцияларды зерттеуде туындыларды қолдану туралы кейбір негізгі қорытындылар:

1. Экстремаларды анықтау: Туындылар функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелерін табуға мүмкіндік береді, бұл есептерді оңтайландыруда және ең жақсы шешімдерді табуда маңызды.

2. Функцияның әрекетін талдау: Туынды функцияның өсетін немесе кеметін бөлімдерін, сонымен қатар функцияның өзгеру бағыты өзгеретін иілу нүктелерін анықтауға мүмкіндік береді.