Обратные тригонометрические функции: конспект для 10 класса

Тема. Обратные тригонометрические функции: у = arctg x, y = arcctg x

Цель урока: изучение свойств обратных тригонометрических функций: у = arctg х и у = arcctg x.

И. Проверка домашнего задания

1. Фронтальная беседа с классом по вопросам 6, 7, 9-12, к «Вопросы и задания для повторения» раздела II.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вычислите:

а) arcsin 1 - 2arccos . (2 балла)

б) 2 arccos 0,5 - 3 arcsin . (2 балла)

в) sin (2 балла)

г) sin . (3 балла)

д) cos (π - arcsin (-1)). (Баллы)

Вариант 2

а) 2 arccos + arcsin . (2 балла)

б) arcsin(-l) - arccos . (2 балла)

в) cos . (2 балла)

г) cos . (3 балла)

д) sin. (3 балла).

Ответы: В-1: а) -π; б) ; в) -0,5; г); д) 0. В-2. а) ; б) -1,25; в); г); д) 1.

II. Сообщение темы урока

III. Восприятие и осознание понятия arctg a и свойств функции у = arctg х

Функция у = tg x на промежутке возрастает и принимает все значения из R, поэтому для любого а уравнение tg х = а имеет единственный корень из промежутка , который называется арктангенсом числа а и обозначается arctg а.

Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка , тангенс которого равен а.

Пример 1. arctg = , потому tg = и .

Пример 2. arctg(-1) = - , потому что tg = -1 и -.

Выполнение упражнений

1. Вычислите:

а) arctg ; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg ; д) arctg (-).

Ответ: а) ; б) 0; в) ; г) - ; д) - .

2. Какие из представленных выражений имеют смысл:

а) arctg π; б) arctg ; в) arctg π2?

Ответ: а); б); в).

График функции у = arctg х: получим из графика функции у = tg х, хпреобразованием симметрии относительно прямой у = х (рис. 120).

Рассмотрим свойства функции у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(в) = .

3. График симметричен относительно начала координат, то функция нечетная: arctg (-х) = - arctg х.

4. Функция возрастающая. Если х1 х2 то arctg х1 arctg х2

5. у = 0, если х = 0.