Пиза с решением

Гущин Д. Д., Юрченко А. А., Санкт-Петербург PISA: разбор заданий международного исследования Мы предлагаем вашему вниманию разбор заданий международного тестирования ПИЗА, проходившего в России в 2000, 2003 и 2006 годах. Очередное тестирование пройдет в россий- ских школах через две-три недели, а результаты появятся примерно через год. Но уже сейчас ясно, что они будут неутешительными.

К сожалению, абсолютное большинство российских школьников особенно на средней сту- пени обучения тренируются учителями для заучивания материала, выполнения действий по образцу, реализации одно-двух-трёх шаговых алгоритмов.

Давно известно, что выполнение сколь угодно сложных алгоритмов не развивает творче- ских способностей учащихся, а в худшем исполнении, приводит к тому, что даже и повторить эти самые алгоритмы учащийся оказывается не в состоянии.

Именно это является причиной четверти неудовлетворительных оценок по математике, по- лучаемых ежегодно при проведении единого государственного экзамена, это же является при- чиной более чем неудовлетворительных результатов тестирования "Пиза".

Анализируя наши неудачи мы зачастую путаем причину со следствием. Объясняя, напри- мер, плохие результаты школьников неудачными технологиями контроля. Понятно, однако, что продолжать оставаться на позиции «Наше образование — лучшее в мире, только в остальных странах об этом не знают», значит, уподобляться страусам.

Намеренно уходя сейчас от полемики на тему кто и чем может убедительно подтвердить, что 15 миллионов российских школьников получают лучшее на всей планете образование, предлагаем всем желающим познакомиться с теми заданиями, которые вызывают у наших де- вятиклассников серьёзные трудности.

Признаемся, что не все задачи были простыми и для нас самих : нашей целью было не столько приведение правильного ответа, но - в большей степени - предъявление достаточно полных и аргументированных рассуждений, зачастую отсутствующих в наших школьных учебниках, позволяющих ученику получить ответ на вопрос задачи. Там, где это казалось нам уместным, мы приводили несколько способов рассуждений, при необходимости комментиро- вали задания.

Основной труд по решению задач взял на себя кандидат физико-математических наук, преподаватель физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета А. А. Юрченко. Учитель Петергофской гимназии императора Александра II, преподаватель физфака СПбГУ и Смольного института свободных искусств и наук Д. Д. Гущин проверял и дополнял решения, редактировал и комментировал их, а также адаптировал научный текст к прочтению читателем-непрофессионалом.

Не будет преувеличением отметить, что нам было интересно работать над многими зада- ниями; размышления над некоторыми вызывали между нами живые дискуссии, к которым ино- гда привлекались и специалисты в соответствующих областях естествознания.

Мы желаем читателям интересного и полезного чтения, а российскому образованию - про- цветания. Только это подвигло нас на тот труд, который сейчас перед вами.

Авторы.

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru

Международное исследование образовательных достижений учащихся PISA Математическая грамотность 1. ПОХОДКА

На рисунке изображены следы идущего человека. Длина шага P — расстояние от конца пят- ки следа одной ноги до конца пятки следа другой ноги. Для походки мужчин зависимость меж- ду n и P приближенно выражается формулой / 140 n P = , где n — число шагов в минуту, P — длина шага в метрах. ВОПРОС 1. Используя данную формулу, определите, чему равна длина шага Сергея, если он делает 70 шагов в минуту. Решение. Из данной формулы получаем:

140 140 n n P P = ⇔ = .

По условию Сергей делает 70 шагов в минуту, значит, n = 70. Длина его шага (в метрах) равна

70 0,5 140 P = = .

Ответ: 0,5 метров. ВОПРОС 2. Павел знает, что длина его шага равна 0,80 м. Используя данную выше формулу, вычислите скорость Павла при ходьбе в метрах в минуту (м/мин), а затем в километрах в час (км/ч). Решение. Из данной формулы получаем:

140 140 n n P P = ⇔ = .

По условию длина шага Павла равна P = 0,80 м. За минуту он делает 140 0,80 112 n = ⋅ = шагов. Значит, за минуту Павел проходит 112 0,80 89,6 ⋅ = метров. Скорость Павла равна

км м км 89,6 89,6 5,376 мин ч ч v = = = .

Ответ: 89,6 м/мин; 5,376 км/ч.

2. КУБИКИ ВОПРОС. На фотографии видны 6 кубиков, обозначенных буквами от а до f. Для каждого из них выполняется следующее правило: сумма кружков, изобра- женных на двух любых противоположных гранях кубика, всегда равна се- ми. В каждой клетке таблицы запишите число кружков, которые изображе- ны на нижней грани соответствующего кубика. (a) (b) (c)

(d) (e) (f) Решение. Нижняя грань противоположна верхней, значит, число кружков на ней можно оп- ределить, вычитая из семи число кружков на верхней грани. Получаем следующую таблицу: (a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Ответ: см. таблицу. 3. ОБЩЕНИЕ В ИНТЕРНЕТЕ Марк (из Сиднея в Австралии) и Ганс (из Берлина в Германии) часто общаются друг с дру- гом в Интернете. Им приходится выходить в Интернет в одно и то же время, чтобы они смогли поболтать. Чтобы определить удобное для общения время, Марк просмотрел таблицы, в кото- рых дано время в различных частях мира, и нашел следующую информацию:

Гринвич 24:00 (полночь) Берлин 1:00 Сидней 10:00 ВОПРОС 1. Какое время в Берлине, если в Сиднее 19:00? Решение. Из найденной Марком информации ясно, что сиднейское время на 9 часов опере- жает берлинское. Когда в Сиднее 19:00, в Берлине 10:00. Ответ: 10:00. ВОПРОС 2. Марк и Ганс не могут общаться между 9:00 и 16:30 по их местному времени, так как они в это время должны находиться в школе. Они также не могут общаться с 23:00 до 7:00 по их ме- стному времени, так как в это время они спят. Какое время было бы удобно для мальчиков, чтобы они могли поболтать? Укажите в таблице местное время для каждого города. Город Время

Сидней

Берлин

Решение. Марк имеет возможность общаться с 7:00 до 9:00 и с 16:30 до 23:00 по сидней- скому времени или с 22:00 до 24:00 и с 7:30 до 14:00 по берлинскому времени. С учётом воз- можностей Ганса получается, что они могут общаться с 22:00 до 23:00 и с 7:30 до 9:00 по бер- линскому времени или с 7:00 до 8:00 и с 16:30 до 18:00 по сиднейскому времени: Город Время

Сидней с 7:00 до 8:00, с 16:30 до 18:00

Берлин с 22:00 до 23:00, с 7:30 до 9:00

Ответ: см. таблицу. 4. ЭКСПОРТ На диаграммах представлена информация об экспорте из Зедландии — страны, в которой в качестве денежной единицы используют зед.

ВОПРОС 1. Какова общая стоимость (в миллионах зедов) экспорта из Зедландии в 1998 г.? Решение. Из столбчатой диаграммы видно, что в 1998 году общая стоимость экспорта из Зедландии составляла 27,1 миллионов зедов. Ответ: 27,1 млн зедов. ВОПРОС 2. Какова стоимость фруктового сока, который экспортировали из Зедландии в 2000 г.? A. 1,8 миллионов зедов B. 2,3 миллионов зедов C. 2,4 миллионов зедов D. 3,4 миллионов зедов E. 3,8 миллионов зедов Решение. Из столбчатой диаграммы видно, что в 2000 году общая стоимость экспорта из Зедландии составляла 42,6 миллионов зедов. Из круговой диаграммы видно, что доля стоимо- сти фруктового сока составляла 9 % или 42,6 0,09 3,834 3,8 ⋅ = ≈ миллионов зедов. Правильный ответ: E.

5. ЦВЕТНЫЕ КОНФЕТЫ ВОПРОС. Мама Роберта разрешила ему вынуть из коробки одну конфету, не заглядывая в коробку. Число конфет различного цвета в коробке показано на диаграмме.

Какова вероятность того, что Роберт вынет красную конфету? A. 10 % B. 20 % C. 25 % D. 50 % Решение. Найдём число конфет в коробке по данным, приведённым на диаграмме: 6 + 5 + + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30 конфет и из них 6 красных. Вероятность вынуть красную конфету равна отношению числа красных конфет к общему числу конфет:

Правильный ответ: B. 6. ТЕСТЫ ПО ГЕОГРАФИИ ВОПРОС. У Игоря в школе учитель географии предлагает учащимся тесты и выполнение каждого из них оценивает из 100 баллов. Средняя оценка Игоря за четыре первых теста равна 60 баллам. По пятому тесту он получил 80 баллов. Чему равна средняя оценка Игоря за пять тестов по гео- графии? Решение. Поскольку средняя оценка Игоря за четыре первых теста равна 60 баллам, значит, за четыре первых теста он набрал в сумме 4 60 240 ⋅ = баллов. После пятого теста общее число баллов стало равно 240 80 320 + = . Средняя оценка Игоря за пять тестов равна 320:5 64 = . Ответ: 64. 7. КНИЖНЫЕ ПОЛКИ ВОПРОС. Чтобы собрать один комплект книжных полок, плотнику нужны следующие детали: − 4 длинных деревянных панели, − 6 коротких деревянных панелей, − 12 маленьких скоб, − 2 больших скобы и − 14 шурупов. У плотника есть 26 длинных деревянных панелей, 33 коротких панели, 200 маленьких скоб, 20 больших скоб и 510 шурупов. Какое наибольшее число комплектов книжных полок может собрать из этих деталей плотник?